σ Algebra der τ Vergangenheit Die 1 auch Vergangenheit von τ 2 genannt ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein speziel

σ-Algebra der τ-Vergangenheit

Die σ-Algebra der τ-Vergangenheit, auch Vergangenheit von τ genannt, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezielles Mengensystem, genauer eine σ-Algebra. Sie entsteht durch Kombination einer Filtrierung mit einer Stoppzeit und findet meist Anwendung bei Aussagen über gestoppte Prozesse, also stochastische Prozesse, die an einem zufälligen Zeitpunkt angehalten werden. Zu diesen Aussagen gehören beispielsweise das Optional Stopping Theorem, das Optional Sampling Theorem und die Definition der starken Markow-Eigenschaft.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum sowie eine Filtrierung bezüglich der Ober-σ-Algebra und eine Stoppzeit bezüglich . Dann heißt

die σ-Algebra der τ-Vergangenheit.

Eigenschaften Bearbeiten

Sind Stoppzeiten und ist , so ist .

Des Weiteren ist immer -messbar.

Ist , so lässt sich zu einem stochastischen Prozess

eine „gesampelte“ Zufallsvariable

definieren. Ist zusätzlich höchstens abzählbar und der stochastische Prozess adaptiert, so ist immer -messbar. Die Zufallsvariable sollte nicht mit dem gestoppten Prozess verwechselt werden, insbesondere da die Notation in der Literatur nicht einheitlich ist.

Anschaulich besteht die Zufallsvariable im Falle der Indexmenge auf der Menge aus der Zufallsvariable , auf der Menge aus etc. Damit ergibt sich in diesem Fall die alternative Definition

Literatur Bearbeiten

David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 197.
Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2009, S. 278.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 04:10 am

Die s Algebra der t Vergangenheit 1 auch Vergangenheit von t 2 genannt ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein spezielles Mengensystem genauer eine s Algebra Sie entsteht durch Kombination einer Filtrierung mit einer Stoppzeit und findet meist Anwendung bei Aussagen uber gestoppte Prozesse also stochastische Prozesse die an einem zufalligen Zeitpunkt angehalten werden Zu diesen Aussagen gehoren beispielsweise das Optional Stopping Theorem das Optional Sampling Theorem und die Definition der starken Markow Eigenschaft Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp sowie eine Filtrierung F F t t T displaystyle mathbb F mathcal F t t in T nbsp bezuglich der Ober s Algebra A displaystyle mathcal A nbsp und eine Stoppzeit t displaystyle tau nbsp bezuglich F displaystyle mathbb F nbsp Dann heisst F t A A A t t F t fur alle t T displaystyle mathcal F tau A in mathcal A A cap tau leq t in mathcal F t text fur alle t in T nbsp die s Algebra der t Vergangenheit Eigenschaften BearbeitenSind s t displaystyle sigma tau nbsp Stoppzeiten und ist s t displaystyle sigma leq tau nbsp so ist F s F t displaystyle mathcal F sigma subset mathcal F tau nbsp Des Weiteren ist t displaystyle tau nbsp immer F t displaystyle mathcal F tau nbsp messbar Ist t lt displaystyle tau lt infty nbsp so lasst sich zu einem stochastischen Prozess X X t t T displaystyle X X t t in T nbsp eine gesampelte Zufallsvariable X t w X t w w displaystyle X tau colon omega mapsto X tau omega omega nbsp definieren Ist zusatzlich T displaystyle T nbsp hochstens abzahlbar und der stochastische Prozess adaptiert so ist X t displaystyle X tau nbsp immer F t displaystyle mathcal F tau nbsp messbar Die Zufallsvariable X t displaystyle X tau nbsp sollte nicht mit dem gestoppten Prozess X t displaystyle X tau nbsp verwechselt werden insbesondere da die Notation in der Literatur nicht einheitlich ist Anschaulich besteht die Zufallsvariable X t displaystyle X tau nbsp im Falle der Indexmenge T N displaystyle T mathbb N nbsp auf der Menge t 0 displaystyle tau 0 nbsp aus der Zufallsvariable X 0 displaystyle X 0 nbsp auf der Menge t 1 displaystyle tau 1 nbsp aus X 1 displaystyle X 1 nbsp etc Damit ergibt sich in diesem Fall die alternative Definition X t n 0 1 t n X n displaystyle X tau sum n 0 infty mathbf 1 tau n X n nbsp Literatur BearbeitenDavid Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Einzelnachweise Bearbeiten Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 197 Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2009 S 278 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title S Algebra der t Vergangenheit amp oldid 192051994