Die σ-Algebra der invarianten Ereignisse ist eine spezielle σ-Algebra, die in der Ergodentheorie Verwendung findet. Dort dient sie beispielsweise zur Definition der Ergodizität oder zur Formulierung des individuellen Ergodensatzes und des Lp-Ergodensatzes.
Definition Bearbeiten
Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine messbare Abbildung.
Ein heißt ein invariantes Ereignis, wenn ist.
Die Menge aller invarianten Ereignisse, also
heißt dann die σ-Algebra der invarianten Ereignisse.
Eigenschaften Bearbeiten
- Dass tatsächlich eine σ-Algebra ist, folgt direkt aus der Verträglichkeit der Urbildoperation mit den Mengenoperationen.
- Eine Funktion von nach ist genau dann -messbar, wenn sie -messbar ist und gilt.
Quasi-invariante Ereignisse Bearbeiten
Eine Abschwächung des Begriffes eines invarianten Ereignisses ist ein quasi-invariantes Ereignis. Dabei wird die Gleichheit nur fast sicher gefordert. Demnach heißt ein quasi-invariant, wenn
gilt. Auch die quasi-invarianten Ereignisse bilden für maßerhaltende Abbildungen eine σ-Algebra, sie ist gegeben durch
Tatsächlich unterscheiden sich die quasi-invarianten Ereignisse und die invarianten Ereignisse kaum, denn es lässt sich zeigen, dass für jedes ein gibt, so dass ist. Es lässt sich also zu jeder quasi-invarianten Menge immer eine invariante Menge finden, so dass diese sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden.
Literatur Bearbeiten
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Manfred Einsiedler, Klaus Schmidt: Dynamische Systeme. Ergodentheorie und topologische Dynamik. Springer, Basel 2014, ISBN 978-3-0348-0633-6, doi:10.1007/978-3-0348-0634-3.