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Das Buckinghamsche P Theorem sprich Pi Theorem nach Edgar Buckingham 1867 1940 ist ein grundlegendes Theorem der Ahnlichkeitstheorie und der Dimensionsanalyse Es beschreibt wie eine physikalisch sinnvolle Gleichung mit n dimensionsbehafteten Grossen in eine Gleichung mit n m dimensionslosen Grossen umgeschrieben werden kann wobei m die Anzahl der verwendeten unabhangigen Grundgrossen ist Weiterhin ist es durch das Buckinghamsche P Theorem moglich dimensionslose Kennzahlen zu einem Problem aus den Ausgangsgrossen zu ermitteln auch wenn der exakte Zusammenhang in Form einer Gleichung noch nicht bekannt ist Offenbar machte Joseph Bertrand bei der Untersuchung von Problemen der Elektrodynamik und der Theorie der Warmeleitung 1878 erstmals auf den Kerninhalt des P Theorems und mogliche Anwendungen zur Modellierung physikalischer Phanomene aufmerksam 1 Die neuen Methoden der Dimensionsanalyse wurden 1892 besonders bekannt durch Rayleighs Arbeiten zum Druckabfall in einer Rohrleitung mit Anwendung des verallgemeinerten P Theorems 2 Die formalisierte Verallgemeinerung des P Theorems auf den Fall einer beliebigen Zahl von physikalischen Grossen erfolgte erstmals 1892 durch Aime Vaschy 3 4 dann offenbar unabhangig davon durch A Federman 5 und Dmitri Pawlowitsch Rjabuschinski 6 1911 und schliesslich 1914 durch Edgar Buckingham 7 1926 befasste sich Hermann Weyl mit dem P Theorem Inhaltsverzeichnis 1 Ermittlung der Einflussgrossen 2 Beispiele 2 1 Reibungsfreies Pendel 2 2 Federpendel 2 3 Rotierender Ring 3 Literatur 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseErmittlung der Einflussgrossen BearbeitenDie Ermittlung der Einflussgrossen die ein physikalisches Problem beschreiben stellt die Schwierigkeit bei der Anwendung des Buckinghamschen P Theorems dar In dieser Phase ist Intuition und oder physikalischer Sachverstand erforderlich Bei einer konsistenten Wahl der Einflussgrossen ist eine Umwandlung in n m dimensionslose Grossen jedoch immer moglich Dabei konnen auch Naturkonstanten bspw die Lichtgeschwindigkeit eine Rolle spielen Eine Umwandlung der dimensionsbehafteten Einflussgrossen in dimensionslose Kenngrossen ist nur moglich wenn jede Basisdimension in mindestens zwei dimensionsbehafteten Einflussgrossen des physikalischen Systems vorkommt Diese Voraussetzung ist notwendig aber nicht hinreichend Falls sich herausstellt dass eine Umwandlung nicht moglich ist bedeutet dies dass entweder zu viele zu wenige oder die falschen Einflussgrossen gewahlt wurden Ungeachtet dessen konnen bei einer gegluckten Umwandlung jedoch auch wichtige Einflussgrossen vergessen und uberflussige Grossen verwendet worden sein Beispiele BearbeitenReibungsfreies Pendel Bearbeiten nbsp Pendel reibungsfrei Man kann fur kleine Auslenkungen die Pendellange l die Erdbeschleunigung g sowie die Masse m als die drei wesentlichen beschreibenden Grossen fur die Schwingungsdauer t eines Pendels annehmen n 4 Es sollen die Grunddimensionen L Lange SI Einheit m M Masse SI Einheit kg und T Zeit SI Einheit s verwendet werden m 3 Die Dimensionen der Einflussgrossen konnen als Potenzprodukt der Grunddimensionen ausgedruckt werden l Dimension L g Dimension L T2 m Dimension M t Dimension T Der Produktansatz 1 P l x 1 g x 2 m x 3 t x 4 displaystyle Pi l x 1 cdot g x 2 cdot m x 3 cdot t x 4 nbsp kann nur dimensionslos werden wenn 2 L x 1 L T 2 x 2 M x 3 T x 4 1 displaystyle L x 1 cdot L T 2 x 2 cdot M x 3 cdot T x 4 1 nbsp und somit 3 Lange x 1 x 2 0 displaystyle x 1 x 2 0 nbsp 4 Masse x 3 0 displaystyle x 3 0 nbsp 5 Zeit 2 x 2 x 4 0 displaystyle 2 cdot x 2 x 4 0 nbsp gilt Wegen 1 und 4 ist die Masse entgegen der obigen Annahme ohne Bedeutung fur die Schwingungsdauer Dies ist ein erstes Ergebnis des Buckinghamschen P Theorems Da x 1 displaystyle x 1 nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp und x 4 displaystyle x 4 nbsp lediglich durch die zwei Gleichungen 3 und 5 bestimmt werden kann eine beliebige der drei Unbekannten frei aber ungleich 0 gewahlt werden bspw x 4 1 displaystyle x 4 1 nbsp Dann gilt 6 x 4 1 displaystyle x 4 1 nbsp x 2 1 2 displaystyle x 2 1 2 nbsp und x 1 1 2 displaystyle x 1 1 2 nbsp Zur Beschreibung des gesuchten Zusammenhangs genugt wegen n m 1 eine einzige und dimensionslose Grosse Diese wird mit 1 und 6 zu 7 P g l m 0 t g l t displaystyle Pi sqrt g l cdot m 0 cdot t sqrt g l cdot t nbsp Da keine weiteren dimensionslosen Grossen beteiligt sind muss als Ergebnis des Buckinghamschen P Theorems 8 g l t const displaystyle sqrt g l cdot t text const nbsp gelten Die unbekannte Proportionalitatskonstante kann mit einem einzigen Versuch zu const 6 283 displaystyle text const 6 283 nbsp bestimmt werden und man erhalt 9 t 6 283 l g displaystyle t 6 283 cdot sqrt l g nbsp als Schwingungsdauer Man beachte dass dieser Zusammenhang ohne Verwendung der zugrunde liegenden Differentialgleichung der Bewegung des Pendels ermittelt wurde Eine Losung dieser Differentialgleichungen liefert das analoge Ergebnis 10 t 2 p l g displaystyle t 2 cdot pi cdot sqrt l g nbsp Die Deutung der Proportionalitatskonstante als const 2 p displaystyle text const 2 pi nbsp 6 283 displaystyle approx 6 283 nbsp kann weder das Buckinghamsche P Theorem noch der Versuch liefern Zusammenfassung Verfahren ErgebnisseBuckinghamsches P Theorem t const l g displaystyle t text const cdot sqrt l g nbsp Buckinghamsches P Theorem und Versuch t 6 283 l g displaystyle t 6 283 cdot sqrt l g nbsp Losung der Differentialgleichung t 2 p l g displaystyle t 2 cdot pi cdot sqrt l g nbsp Federpendel Bearbeiten nbsp Feder Masse PendelGeht man zur Berechnung der Schwingungsdauer t eines Federpendels von der Masse m und der Federkonstante c als wesentlichen Parameter aus kann der folgende Ansatz verwendet werden P m x 1 c x 2 t x 3 displaystyle Pi m x 1 cdot c x 2 cdot t x 3 nbsp Da in diesem Ansatz nur die Dimensionen Masse M und Zeit T vorkommen M x 1 M T 2 x 2 T x 3 1 displaystyle M x 1 cdot left frac M T 2 right x 2 cdot T x 3 1 nbsp lassen sich lediglich zwei Gleichungen 1 Masse x 1 x 2 0 displaystyle x 1 x 2 0 nbsp 2 Zeit 2 x 2 x 3 0 displaystyle 2 cdot x 2 x 3 0 nbsp fur die drei Unbekannten x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp ableiten Mit der Annahme x 3 1 displaystyle x 3 1 nbsp folgen x 2 x 3 2 1 2 displaystyle x 2 x 3 2 1 2 nbsp und x 1 x 2 1 2 displaystyle x 1 x 2 1 2 nbsp Setzt man die Ergebnisse fur x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 nbsp in den Ansatz ein erhalt man P t c m const displaystyle Pi t cdot sqrt c m text const nbsp und damit t m c displaystyle t sim sqrt m c nbsp Rotierender Ring Bearbeiten nbsp Rotierender RingFur die Spannungen s die in einem rotierenden Ring entstehen wird eine Abhangigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit w dem Radius r und der Dichte r angenommen n 4 Der sich daraus ergebende Ansatz P s x 1 r x 2 w x 3 r x 4 displaystyle Pi sigma x 1 cdot rho x 2 cdot omega x 3 cdot r x 4 nbsp kann nur dimensionslos werden wenn fur die hier verwendeten m 3 Grunddimensionen L Lange M Masse T Zeit M T 2 L x 1 M L 3 x 2 1 T x 3 L x 4 1 displaystyle left frac M T 2 L right x 1 cdot left frac M L 3 right x 2 cdot left frac 1 T right x 3 cdot L x 4 1 nbsp und somit 1 Masse x 1 x 2 0 displaystyle x 1 x 2 0 nbsp 2 Zeit 2 x 1 x 3 0 displaystyle 2x 1 x 3 0 nbsp 3 Lange x 1 3 x 2 x 4 0 displaystyle x 1 3x 2 x 4 0 nbsp gilt Fur die vier Unbekannten x 1 x 2 x 3 x 4 displaystyle x 1 x 2 x 3 x 4 nbsp stehen nur 3 Gleichungen zur Verfugung Das Gleichungssystem wird mit der willkurlichen Annahme x 1 1 displaystyle x 1 1 nbsp eindeutig Aus 1 und 2 folgen x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp und x 3 2 displaystyle x 3 2 nbsp Mit 3 kann x 4 2 displaystyle x 4 2 nbsp bestimmt werden Das P Theorem besagt also s 1 r 1 w 2 r 2 const s const r w 2 r 2 displaystyle sigma 1 cdot rho 1 cdot omega 2 cdot r 2 text const quad Rightarrow quad sigma text const cdot rho cdot omega 2 cdot r 2 nbsp Die Spannung s hangt also linear von der Dichte und quadratisch von der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius ab Die unbekannte Proportionalitatskonstante kann nicht mit dem P Theorem bestimmt werden Literatur BearbeitenE Buckingham The principle of similitude In Nature 96 1915 S 396 397 E Buckingham Model experiments and the forms of empirical equations In Trans A S M E 37 1915 S 263 296 J H Spurk Dimensionsanalyse in der Stromungslehre Springer Verlag 1992 ISBN 3 540 54959 5 Siehe auch BearbeitenAhnlichkeitstheorie im Kontext physikalischer Vorgange und Allometrie in der Biologie Dimension Grossensystem Dimensionsanalyse Dort ist die Bildung uber Matrizen zu finden Einzelnachweise Bearbeiten Bertrand J Sur l homogenete dans les formules de physique In Comptes rendus Band 86 Nr 15 1878 S 916 920 Rayleigh On the question of the stability of the flow of liquids In Philosophical Magazine Band 34 1892 S 59 70 Vaschy A Sur les lois de similitude en physique In Annales Telegraphiques Band 19 1892 S 25 28 Macagno E O Historico critical review of dimensional analysis In Journal of the Franklin Institute Band 292 Nr 6 1971 S 391 402 Federman A O nekotoryh obshih metodah integrirovaniya uravnenij s chastnymi proizvodnymi pervogo poryadka In Izvestiya Sankt Peterburgskogo politehnicheskogo instituta imperatora Petra Velikogo Otdel tehniki estestvoznaniya i matematiki Band 16 Nr 1 1911 S 97 155 Riabouchinsky D M ethode des variables de dimension zero et son application en aerodynamique In L Aerophile 1911 S 407 408 Buckingham E On physically similar systems illustrations of the use of dimensional equations In Physical Review Band 4 Nr 4 1914 S 345 376 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Buckinghamsches P Theorem amp oldid 221199294