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Dieser Artikel behandelt ein spezielles Mengensystem der Mathematik In der Chemie bezeichnet p System konjugierte Mehrfachbindungen Ein p displaystyle pi System auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt ist ein spezielles Mengensystem das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Masstheorie verwendet werden kann Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Verwendung 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein Mengensystem S P W displaystyle mathcal S subset mathcal P Omega nbsp also eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge W displaystyle Omega nbsp S displaystyle mathcal S nbsp heisst ein p displaystyle pi nbsp System durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System wenn fur beliebige zwei Mengen A B displaystyle A B nbsp aus dem Mengensystem S displaystyle mathcal S nbsp gilt dass A B S displaystyle A cap B in mathcal S nbsp ist Beispiele BearbeitenFur eine beliebige Grundmenge W displaystyle Omega nbsp sei das Mengensystem S A W A lt displaystyle mathcal S A subset Omega mid A lt infty nbsp aller endlichen Teilmengen gegeben Fur zwei beliebige A B S displaystyle A B in mathcal S nbsp ist nun A B min A B displaystyle A cap B leq min A B nbsp der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich Also ist auch A B S displaystyle A cap B in mathcal S nbsp es handelt sich somit um ein schnittsstabiles System Eigenschaften BearbeitenIst das Mengensystem stabil unter Komplementbildung so ist es genau dann durchschnittsstabil wenn es vereinigungsstabil ist Dies folgt direkt aus den de Morganschen Gesetzen Ist das Mengensystem S displaystyle mathcal S nbsp stabil unter Differenzmengenbildung dann ist es auch ein p System Dies folgt aus A B A A B S displaystyle A cap B A setminus A setminus B in mathcal S nbsp Verwendung BearbeitenDurchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf So ist die Durchschnittsstabilitat eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer s Algebra um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhangigkeit der Zufallsvariablen uberprufen zu mussen Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche p l Satz Ist S displaystyle mathcal S nbsp ein p displaystyle pi nbsp System dann stimmen die von S displaystyle mathcal S nbsp erzeugte s displaystyle sigma nbsp Algebra und das erzeugte Dynkin System uberein es gilt also s S d S displaystyle sigma mathcal S delta mathcal S nbsp Siehe auch BearbeitenS Algebra Dynkin System Monotone KlasseLiteratur BearbeitenChristian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 S 20 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 Heinz Bauer Mass und Integrationstheorie 2 uberarbeitete Auflage de Gruyter Berlin u a 1992 ISBN 3 11 013626 0 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title P System amp oldid 235059666