www.wikidata.de-de.nina.az

δ Ring Mengensystem Ein δ Ring delta Ring ist ein spezielles Mengensystem das in der Maßtheorie Anwendung findet einem T

δ-Ring (Mengensystem)

Ein δ-Ring (delta-Ring) ist ein spezielles Mengensystem, das in der Maßtheorie Anwendung findet, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschäftigt.

Definition Bearbeiten

Ein δ-Ring ist ein Mengenring, der zusätzlich noch ein δ-System ist, das heißt, es ist ein nichtleeres Mengensystem, das stabil bzw. abgeschlossen ist bezüglich Vereinigung, Differenzbildung und abzählbaren Schnitten.

Schreibt man alle Forderungen an einen δ-Ring einzeln aus, so lauten sie:

  1. Sind im δ-Ring enthalten, so ist auch enthalten. (Stabilität bezüglich Vereinigung)
  2. Sind im δ-Ring enthalten, so ist auch enthalten. (Stabilität bezüglich Differenzbildung)
  3. Sind im δ-Ring enthalten, so ist auch enthalten. (Stabilität bezüglich abzählbaren Schnitten)

Eigenschaften und Beispiele Bearbeiten

  • Jeder σ-Ring ist auch immer ein δ-Ring, denn es gilt
  • Die Umkehrung gilt aber im Allgemeinen nicht. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen

Verwendung Bearbeiten

δ-Ringe finden beispielsweise bei Abwandlungen des Maßerweiterungssatzes von Carathéodory Verwendung, wo man anstelle der Erweiterung auf die von einem Ring erzeugte σ-Algebra nur auf den erzeugten δ-Ring erweitert.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Ein d Ring delta Ring ist ein spezielles Mengensystem das in der Masstheorie Anwendung findet einem Teilgebiet der Mathematik das sich mit verallgemeinerten Volumenbegriffen beschaftigt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften und Beispiele 3 Verwendung 4 Weblinks 5 LiteraturDefinition BearbeitenEin d Ring ist ein Mengenring der zusatzlich noch ein d System ist das heisst es ist ein nichtleeres Mengensystem das stabil bzw abgeschlossen ist bezuglich Vereinigung Differenzbildung und abzahlbaren Schnitten Schreibt man alle Forderungen an einen d Ring einzeln aus so lauten sie Sind A B displaystyle A B nbsp im d Ring enthalten so ist auch A B displaystyle A cup B nbsp enthalten Stabilitat bezuglich Vereinigung Sind A B displaystyle A B nbsp im d Ring enthalten so ist auch A B displaystyle A setminus B nbsp enthalten Stabilitat bezuglich Differenzbildung Sind A 1 A 2 A 3 displaystyle A 1 A 2 A 3 dots nbsp im d Ring enthalten so ist auch i 1 A i displaystyle bigcap i 1 infty A i nbsp enthalten Stabilitat bezuglich abzahlbaren Schnitten Eigenschaften und Beispiele BearbeitenJeder s Ring ist auch immer ein d Ring denn es gilt i 1 A i A 1 i 2 A 1 A i displaystyle bigcap i 1 infty A i A 1 setminus bigcup i 2 infty A 1 setminus A i nbsp dd fur jede im s Ring enthaltene Folge von Mengen A i i N displaystyle A i i in mathbb N nbsp Die Umkehrung gilt aber im Allgemeinen nicht Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzahlbare Menge X displaystyle X nbsp und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen MengenE E X E lt displaystyle mathcal E E subset X E lt infty nbsp dd so handelt es sich um einen d Ring da abzahlbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind Es ist aber kein s Ring denn abzahlbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich Verwendung Bearbeitend Ringe finden beispielsweise bei Abwandlungen des Masserweiterungssatzes von Caratheodory Verwendung wo man anstelle der Erweiterung auf die von einem Ring erzeugte s Algebra nur auf den erzeugten d Ring erweitert Weblinks BearbeitenAllan Cortzen Delta Ring In MathWorld englisch Literatur BearbeitenJurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title D Ring Mengensystem amp oldid 154539609