Γ Konvergenz In der Variationsrechnung bezeichnet Gamma Konvergenz eine spezielle Konvergenzart für Funktionale Sie wurd

Γ-Konvergenz

In der Variationsrechnung bezeichnet Γ-Konvergenz (Gamma-Konvergenz) eine spezielle Konvergenzart für Funktionale. Sie wurde von Ennio de Giorgi eingeführt. Ursprünglich wurde sie als G-Konvergenz bezeichnet, da sie für greensche Funktionale entwickelt wurde. Der Begriff Γ-Konvergenz entstand durch die Verallgemeinerung dieses Konvergenzbegriffes.

Definition Bearbeiten

Sei ein topologischer Raum und eine Folge von Funktionalen auf . Die Folge konvergiert im Sinne der Γ-Konvergenz gegen den Γ-Grenzwert , falls die folgenden zwei Bedingungen gelten:

Für jede konvergente Folge in mit Grenzwert gilt

Zu jedem gibt es eine Folge in , die gegen konvergiert und

Die erste Bedingung bedeutet, dass eine „gemeinsame asymptotische untere Schranke“ für die ist; die letztere Bedingung hingegen garantiert die Optimalität.

Eigenschaften Bearbeiten

Minimierer konvergieren gegen Minimierer: Eine Folge heißt Minimalfolge für , falls

Falls nun

gegen

Γ-konvergiert und

eine Minimalfolge für

ist, so ist jeder Häufungspunkt

von

ein Minimierer von

, d. h.

Γ-Grenzwerte sind stets unterhalbstetig.
Γ-Konvergenz ist stabil unter stetiger Störung: Falls gegen Γ-konvergiert und stetig ist, dann ist Γ-konvergent gegen .
Eine konstante Folge von Funktionalen muss nicht notwendigerweise gegen Γ-konvergieren, sondern gegen die Relaxation von , nämlich das größte unterhalbstetige Funktional unterhalb von .

Anwendungen Bearbeiten

Eine wichtige Anwendung findet die Γ-Konvergenz in der Homogenisierungstheorie und der Dimensionsreduktion. Sie kann auch benutzt werden, um eine rigorose Begründung für den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen zu liefern, beispielsweise bei der Elastizitätstheorie. Weitere Anwendungsgebiete sind im Bereich von Phasenübergängen und Program Slicing zu finden.

Literatur Bearbeiten

Andrea Braides: Γ-convergence for Beginners. In: Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications. Band 22, Oxford University Press, 2002, ISBN 0-19-850784-4.
Gianni Dal Maso: An Introduction to Γ-Convergence. In: Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Band 8, Birkhäuser, Basel 1993, ISBN 978-0-8176-3679-1.

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Veröffentlichungsdatum: November 27, 2023, 16:59 pm

In der Variationsrechnung bezeichnet G Konvergenz Gamma Konvergenz eine spezielle Konvergenzart fur Funktionale Sie wurde von Ennio de Giorgi eingefuhrt Ursprunglich wurde sie als G Konvergenz bezeichnet da sie fur greensche Funktionale entwickelt wurde Der Begriff G Konvergenz entstand durch die Verallgemeinerung dieses Konvergenzbegriffes Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Anwendungen 4 Verwandte Konvergenzbegriffe 5 LiteraturDefinition BearbeitenSei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum und F n displaystyle F n nbsp eine Folge von Funktionalen F n X 0 displaystyle F n X rightarrow 0 infty nbsp auf X displaystyle X nbsp Die Folge F n displaystyle F n nbsp konvergiert im Sinne der G Konvergenz gegen den G Grenzwert F X 0 displaystyle F X rightarrow 0 infty nbsp falls die folgenden zwei Bedingungen gelten Fur jede konvergente Folge x n displaystyle x n nbsp in X displaystyle X nbsp mit Grenzwert x X displaystyle x in X nbsp giltF x lim inf n F n x n displaystyle F x leq liminf n to infty F n x n nbsp Zu jedem x X displaystyle x in X nbsp gibt es eine Folge x n displaystyle x n nbsp in X displaystyle X nbsp die gegen x displaystyle x nbsp konvergiert undF x lim sup n F n x n displaystyle F x geq limsup n to infty F n x n nbsp erfullt Die erste Bedingung bedeutet dass F displaystyle F nbsp eine gemeinsame asymptotische untere Schranke fur die F n displaystyle F n nbsp ist die letztere Bedingung hingegen garantiert die Optimalitat Eigenschaften BearbeitenMinimierer konvergieren gegen Minimierer Eine Folge x n displaystyle x n nbsp heisst Minimalfolge fur F n displaystyle F n nbsp fallslim n F n x n inf F n y y X 0 displaystyle lim n rightarrow infty left F n x n inf F n y y in X right 0 nbsp dd Falls nun F n displaystyle F n nbsp gegen F displaystyle F nbsp G konvergiert und x n displaystyle x n nbsp eine Minimalfolge fur F n displaystyle F n nbsp ist so ist jeder Haufungspunkt x displaystyle x nbsp von x n displaystyle x n nbsp ein Minimierer von F displaystyle F nbsp d h F x inf F y y X displaystyle F x inf F y y in X nbsp dd G Grenzwerte sind stets unterhalbstetig G Konvergenz ist stabil unter stetiger Storung Falls F n displaystyle F n nbsp gegen F displaystyle F nbsp G konvergiert und G X 0 displaystyle G X rightarrow 0 infty nbsp stetig ist dann ist F n G displaystyle F n G nbsp G konvergent gegen F G displaystyle F G nbsp Eine konstante Folge von Funktionalen F n F displaystyle F n equiv F nbsp muss nicht notwendigerweise gegen F displaystyle F nbsp G konvergieren sondern gegen die Relaxation von F displaystyle F nbsp namlich das grosste unterhalbstetige Funktional unterhalb von F displaystyle F nbsp Anwendungen BearbeitenEine wichtige Anwendung findet die G Konvergenz in der Homogenisierungstheorie und der Dimensionsreduktion Sie kann auch benutzt werden um eine rigorose Begrundung fur den Ubergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen zu liefern beispielsweise bei der Elastizitatstheorie Weitere Anwendungsgebiete sind im Bereich von Phasenubergangen und Program Slicing zu finden Verwandte Konvergenzbegriffe BearbeitenEin auf Banachraumen verwandter Konvergenzbegriff ist die Mosco Konvergenz die aquivalent ist zu gleichzeitiger G Konvergenz bezuglich der Normtopologie und der schwachen Topologie Literatur BearbeitenAndrea Braides G convergence for Beginners In Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications Band 22 Oxford University Press 2002 ISBN 0 19 850784 4 Gianni Dal Maso An Introduction to G Convergence In Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications Band 8 Birkhauser Basel 1993 ISBN 978 0 8176 3679 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title G Konvergenz amp oldid 160304269