In der Mathematik ist die Vermutung von Falconer eine 1985 von Kenneth J Falconer aufgestellte Vermutung die beantworten soll wie gross die Dimension einer Menge sein muss damit die Menge ihrer Abstande positives Volumen hat Sie verallgemeinert den Satz von Steinhaus Die Vermutung von Falconer besagt dass fur eine kompakte Menge E R d displaystyle E subset mathbb R d der Hausdorff Dimension grosser als d 2 displaystyle frac d 2 die Menge D E x y x y E displaystyle Delta E left vert x y vert colon x y in E right positives Lebesgue Mass hat Optimalitat BearbeitenSei P q Z d 0 q d displaystyle P q mathbb Z d cap left 0 q right d nbsp Dann ist P q q d displaystyle sharp P q sim q d nbsp wahrend die Anzahl D P q displaystyle sharp Delta P q nbsp durch die Anzahl der Werte von x 1 2 x q 2 displaystyle x 1 2 ldots x q 2 nbsp mit x 1 x d 0 q displaystyle x 1 ldots x d in left 0 q right nbsp beschrankt ist also durch d q 2 displaystyle dq 2 nbsp Es folgt D P q d P q d 2 displaystyle sharp Delta P q leq d sharp P q frac d 2 nbsp Sei q i 2 i displaystyle q i 2 i nbsp und E i s displaystyle E i s nbsp fur s d 2 d displaystyle s in left frac d 2 d right nbsp die q i d 2 displaystyle q i frac d 2 nbsp Umgebung von 1 q i P q i displaystyle frac 1 q i P q i nbsp sowie E s i E i s displaystyle E s cap i E i s nbsp Die Hausdorff Dimension von E s displaystyle E s nbsp ist s displaystyle s nbsp andererseits ist das Lebesgue Mass von D E i s displaystyle Delta E i s nbsp hochstens C q i D P q i C q i 2 d s displaystyle Cq i sharp Delta P q i leq C prime q i 2 frac d s nbsp kann fur s lt d 2 displaystyle s lt frac d 2 nbsp also Null werden Der Exponent d 2 displaystyle frac d 2 nbsp in der Vermutung von Falconer lasst sich also nicht verbessern Literatur BearbeitenAlex Iosevich What is Falconer s conjecture Notices of the American Mathematical Society 66 4 552 555 2019 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vermutung von Falconer amp oldid 226100846
