Der Tijs Wert auch t displaystyle tau Wert genannt ist ein Losungskonzept der kooperativen Spieltheorie Das Prinzip dieses Konzeptes ist eine Verhandlungssituation bei der zunachst eine Obergrenze Obervektor sowie eine Untergrenze Untervektor bestimmt werden Inhaltsverzeichnis 1 Obervektor 2 Untervektor 3 Quasi Balanciertheit 4 Definition Tijs Wert 5 Beispiel 6 Literatur 7 EinzelnachweiseObervektor BearbeitenDer Vektor der Grenzbeitrage jedes Spielers zur grossen Koalition bildet den Obervektor Unter der grossen Koalition versteht man dabei die aus allen Spielern bestehende Koalition Fur jeden Spieler i N displaystyle i in N nbsp diese seien nummeriert von 1 displaystyle 1 nbsp bis n displaystyle n nbsp wird die Differenz zwischen dem Wert der grossen Koalition v N displaystyle v N nbsp und dem Wert der grossen Koalition abzuglich des Spielers v N i displaystyle v N setminus i nbsp berechnet Dieser sogenannte Grenzbeitrag des Spielers i displaystyle i nbsp beschreibt die obere Grenze fur die Auszahlung an eben jenen Spieler Somit wird dem Spieler keine hohere Auszahlung gewahrt als sein Wertbeitrag zur grossen Koalition In einem Spiel G N v displaystyle Gamma N v nbsp ist der Obervektor auch Utopia Vektor genannt b b 1 b 2 b n T displaystyle b b 1 b 2 b n mathrm T nbsp beschrieben durch i N b i v N v N i displaystyle forall i in N b i v N v N setminus i nbsp Die Koordinate b i displaystyle b i nbsp beschreibt hierbei den marginalen Beitrag des Spielers i displaystyle i nbsp bzgl der grossen Koalition N displaystyle N nbsp 1 Untervektor BearbeitenSollte sich ein Spieler i N displaystyle i in N nbsp nicht an der grossen Koalition N displaystyle N nbsp beteiligen wollen so kann er Teil einer sogenannten Aussenseiterkoalition S displaystyle S nbsp werden Dann steht ihm der Wert der Aussenseiterkoalition v S displaystyle v S nbsp zu Allerdings muss Spieler i displaystyle i nbsp den anderen Spielern einen Anreiz bieten um ebenfalls an der Aussenseiterkoalition S displaystyle S nbsp teilzunehmen Dazu wird jedem anderen Spieler j S i displaystyle displaystyle j in S setminus left lbrace i right rbrace nbsp der Wert geboten den sie als Teil der grossen Koalition b j displaystyle b j nbsp realisieren konnten Die so berechnete Differenz bildet die Untergrenze auch Drohpunkt oder Konzessionsgrenze genannt des Spielers i displaystyle i nbsp Rein rational wird jene Koalition angestrebt in der diese Differenz am grossten ist In einem Spiel G N v displaystyle Gamma N v nbsp ist der Untervektor a a 1 a 2 a n T displaystyle a a 1 a 2 a n mathrm T nbsp gegeben mit i N a i max S N i S v S j S i b j displaystyle forall i in N a i displaystyle max limits S subseteq N i in S left lbrace v S sum j in S setminus left lbrace i right rbrace b j right rbrace nbsp 2 Quasi Balanciertheit BearbeitenAn eine solche Zuteilung werden zwei Forderungen gestellt Zum einen mussen die Koordinaten b i displaystyle b i nbsp mindestens so gross sein wie a i displaystyle a i nbsp fur alle Spieler Zum anderen soll der Wert der grossen Koalition nicht kleiner bzw nicht grosser als die Summe aller a i displaystyle a i nbsp bzw b i displaystyle b i nbsp sein Dies beschreibt die Quasi Balanciertheit eines Spieles Ein Spiel G N v displaystyle Gamma N v nbsp ist quasi balanciert sofern fur alle i N displaystyle i in N nbsp a i b i displaystyle a i leq b i nbsp sowie i N a i v N i N b i displaystyle displaystyle sum i in N a i leq v N leq sum i in N b i nbsp erfullt ist 3 Definition Tijs Wert BearbeitenFur quasi balancierte Spiele ist die Existenz und Eindeutigkeit einer Imputation gesichert welche zwischen dem Obervektor b displaystyle b nbsp und Untervektor a displaystyle a nbsp liegt Diese Imputation wird Tijs Wert genannt Der t displaystyle tau nbsp Wert eines quasi balancierten Spieles ist definiert durch t v a l b a displaystyle tau v a lambda b a nbsp wobei l 0 displaystyle lambda 0 nbsp wenn a b displaystyle a b nbsp ansonsten l v N i N a i i N b i i N a i displaystyle lambda frac v N displaystyle sum i in N a i displaystyle sum i in N b i sum i in N a i nbsp 4 Insgesamt erhalt Spieler i displaystyle i nbsp die i displaystyle i nbsp Koordinate des t displaystyle tau nbsp Wert als Losung zugeteilt Beispiel BearbeitenKoalitionsfunktion des Bei Spiels 5 S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp v S displaystyle displaystyle v S nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 700 displaystyle displaystyle 700 nbsp 500 displaystyle displaystyle 500 nbsp 500 displaystyle displaystyle 500 nbsp 1200 displaystyle displaystyle 1200 nbsp Der Obervektor b displaystyle b nbsp ist bestimmt mit b b A b B b C v A B C v B C v A B C v A C v A B C v A B 1200 500 1200 500 1200 700 700 700 500 displaystyle b begin pmatrix b scriptscriptstyle A b scriptscriptstyle B b scriptscriptstyle C end pmatrix begin pmatrix v lbrace A B C rbrace v lbrace B C rbrace v lbrace A B C rbrace v lbrace A C rbrace v lbrace A B C rbrace v lbrace A B rbrace end pmatrix begin pmatrix 1200 500 1200 500 1200 700 end pmatrix begin pmatrix 700 700 500 end pmatrix nbsp Der Untervektor a displaystyle a nbsp ist berechnet mit a a A a B a C max v A v A B b B v A C b C v A B C b B b C max v B v A B b A v B C b C v A B C b A b C max v C v A C b A v B C b B v A B C b A b B displaystyle a begin pmatrix a A a B a C end pmatrix begin pmatrix operatorname max v lbrace A rbrace v lbrace A B rbrace b scriptscriptstyle B v lbrace A C rbrace b scriptscriptstyle C v lbrace A B C rbrace b scriptscriptstyle B b scriptscriptstyle C operatorname max v lbrace B rbrace v lbrace A 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end pmatrix nbsp Weiter ist der Faktor l displaystyle lambda nbsp zu berechnen mit l v N i N a i i N b i i N a i 1 200 600 1 900 600 6 13 displaystyle lambda frac v N displaystyle sum i in N a i displaystyle sum i in N b i sum i in N a i dfrac 1 200 600 1 900 600 dfrac 6 13 nbsp Insgesamt folgt daher t a l b a 200 200 200 6 13 500 500 300 5600 13 5600 13 4400 13 displaystyle tau a lambda b a begin pmatrix 200 200 200 end pmatrix dfrac 6 13 begin pmatrix 500 500 300 end pmatrix begin pmatrix dfrac 5600 13 dfrac 5600 13 dfrac 4400 13 end pmatrix nbsp 6 Literatur BearbeitenJesus Mario Bilbao Cooperative Games on Combinatorial Structures Springer New York 2000 ISBN 978 0 7923 7782 5 Rodica Branzei Dinko Dimitrov Stef Tijs Models in Cooperative Game Theory Springer Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 77953 7 David Muller Investitionscontrolling Entscheidungsfindung bei Investitionen II Entscheidungstheorie 3 Aufl Springer Gabler Berlin u a 2022 ISBN 978 3 658 36596 7 S H Tijs Bounds for the core of a game and the t displaystyle tau nbsp value In O Moeschlin D Pallaschke Hg Game theory and mathematical economics North Holland Amsterdam 1981 S 123 132 S H Tijs An axiomatization of the t displaystyle tau nbsp value In Mathematical Social Sciences Volume 13 Issue 2 1987 doi 10 1016 0165 4896 87 90054 0 S 177 181 Einzelnachweise Bearbeiten Vgl Bilbao 2000 S 6 Branzei et al 2008 S 31 Muller 2022 S 513 Tijs 1981 S 123 Vgl Bilbao 2000 S 6 Branzei et al 2008 S 31 Muller 2022 S 513 514 Tijs 1981 S 123 124 Vgl Bilbao 2000 S 6 Branzei et al 2008 S 31 Muller 2022 S 514 Tijs 1987 S 178 Vgl Bilbao 2000 S 6 Branzei et al 2008 S 32 Muller 2022 S 514 Tijs 1987 S 179 Vgl Muller 2022 S 479 Vgl Muller 2022 S 515 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tijs Wert amp oldid 227991816
