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Superperfekte Zahl Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet wenn die Summe der Teiler der Summe ihr

Superperfekte Zahl

Eine natürliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet, wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so groß ist wie die ursprüngliche Zahl n. Verwendet man als Notation für die Teilersummenfunktion, so kann man die Definition wie folgt aufschreiben:

Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfüllen dagegen die Gleichung Die Frage, ob eine Zahl superperfekt ist, stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion (siehe auch Inhaltskette; hier wird jedoch die Abbildung iteriert).

Beispiele und Eigenschaften Bearbeiten

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Summe dieser Zahlen ist 12. Die Teiler von 12 wiederum sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12, deren Summe 28 ist. Wegen 28 ≠ 2·6 ist 6 keine superperfekte Zahl. Weitere Rechenbeispiele sind:

Zahl Superperfekt?
 Ja
 Nein
 Nein
 Nein
 Nein
 Ja

Die ersten superperfekten Zahlen sind 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, … (Folge A019279 in OEIS).

Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form , wobei eine Mersenne-Primzahl ist (Beispiel: 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne-Primzahl). Umgekehrt liefert jede Mersenne-Primzahl eine gerade superperfekte Zahl. Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt, ist nicht bekannt.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Superperfekte Zahlen sind – genau wie die vollkommenen Zahlen – Beispiele für Zahlen der Oberklasse von (m, k)-superperfekten Zahlen, welche wie folgt definiert sind:

Vollkommene Zahlen sind somit (1,2)-superperfekt und superperfekte Zahlen (2,2)-superperfekt. Die Mathematiker G. L. Cohen und H. J. J. te Riele halten es für möglich, dass jede Zahl (m, k)-superperfekt ist für geeignete m und k.

Es folgen ein paar Beispiele für verallgemeinerte -superperfekte Zahlen:

Die Zahl 21 ist eine -superperfekte Zahl, weil gilt:

Die Zahl 14 ist eine -superperfekte Zahl, weil gilt:

Die Zahl 18 ist eine -superperfekte Zahl, weil gilt:

Es folgen weitere Beispiele von (m, k)-superperfekten Zahlen:

m k (m,k)-superperfekte Zahlen OEIS-Folge
2 2 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824, 1152921504606846976, 309485009821345068724781056, 81129638414606681695789005144064, 85070591730234615865843651857942052864 Folge A019279 in OEIS
2 3 8, 21, 512 Folge A019281 in OEIS
2 4 15, 1023, 29127, 355744082763 Folge A019282 in OEIS
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024, 22548578304 Folge A019283 in OEIS
2 7 24, 1536, 47360, 343976 Folge A019284 in OEIS
2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072, 7635468288, 16106127360 Folge A019285 in OEIS
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936, 5099962368 Folge A019286 in OEIS
2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296, 14763499520, 38385098752 Folge A019287 in OEIS
2 11 4404480, 57669920, 238608384 Folge A019288 in OEIS
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120, 16785793024, 22648550400, 36051025920, 51001180160, 144204103680 Folge A019289 in OEIS
3 k 1, 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, 6882, 7616, 9114, 14592, 18288, 22848, 32704, 40880, 52416, 53760, 54864, 56448, 60960, 65472, 94860, 120960, 122640, 169164, 185535, 186368, 194432 Folge A019292 in OEIS
4 k 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, 336, 455, 512, 896, 960, 992, 1023, 1280, 1536, 1848, 2040, 2688, 4092, 5920, 7808, 7936, 10416, 16352, 20384, 21824, 23424, 24564, 29127, 33792, 41440 Folge A019293 in OEIS

Literatur Bearbeiten

  • D. Suryanarayana: Super perfect numbers. In: Elemente der Mathematik, 1969, 24, S. 16–17, digizeitschriften.de
  • Dieter Bode: Über eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen. Dissertation, Braunschweig 1971
  • Richard K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 3. Auflage. Springer, 2004, Kapitel B2 und B9, Google books
  • G. L. Cohen, H. J. J. te Riele: Iterating the sum-of-divisors function. In: Experimental Mathematics, 1993, 5, S. 93–100, projecteuclid.org

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine naturliche Zahl n wird als superperfekte Zahl bezeichnet wenn die Summe der Teiler der Summe ihrer Teiler doppelt so gross ist wie die ursprungliche Zahl n Verwendet man s displaystyle sigma als Notation fur die Teilersummenfunktion so kann man die Definition wie folgt aufschreiben n ist eine superperfekte Zahl genau dann wenn s s n 2 n displaystyle sigma sigma n 2n Die bekannteren vollkommenen Zahlen erfullen dagegen die Gleichung s n 2 n displaystyle sigma n 2n Die Frage ob eine Zahl superperfekt ist stellt sich bei der Untersuchung der iterierten Teilersummenfunktion siehe auch Inhaltskette hier wird jedoch die Abbildung n s n n displaystyle n mapsto sigma n n iteriert Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele und Eigenschaften 2 Verallgemeinerung 3 Literatur 4 WeblinksBeispiele und Eigenschaften BearbeitenDie Zahl 6 hat die Teiler 1 2 3 und 6 Die Summe dieser Zahlen ist 12 Die Teiler von 12 wiederum sind 1 2 3 4 6 und 12 deren Summe 28 ist Wegen 28 2 6 ist 6 keine superperfekte Zahl Weitere Rechenbeispiele sind Zahl n displaystyle n nbsp s n displaystyle sigma n nbsp s s n displaystyle sigma sigma n nbsp 2 n displaystyle 2n nbsp Superperfekt 2 displaystyle 2 nbsp s 2 1 2 3 displaystyle sigma 2 1 2 3 nbsp s 3 1 3 4 displaystyle sigma 3 1 3 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp nbsp Ja3 displaystyle 3 nbsp s 3 1 3 4 displaystyle sigma 3 1 3 4 nbsp s 4 1 2 4 7 displaystyle sigma 4 1 2 4 7 nbsp 6 displaystyle 6 nbsp nbsp Nein6 displaystyle 6 nbsp s 6 1 2 3 6 12 displaystyle sigma 6 1 2 3 6 12 nbsp s 12 1 2 3 4 6 12 28 displaystyle sigma 12 1 2 3 4 6 12 28 nbsp 12 displaystyle 12 nbsp nbsp Nein8 displaystyle 8 nbsp s 8 1 2 4 8 15 displaystyle sigma 8 1 2 4 8 15 nbsp s 15 1 3 5 15 24 displaystyle sigma 15 1 3 5 15 24 nbsp 16 displaystyle 16 nbsp nbsp Nein10 displaystyle 10 nbsp s 10 1 2 5 10 18 displaystyle sigma 10 1 2 5 10 18 nbsp s 18 1 2 3 6 9 18 39 displaystyle sigma 18 1 2 3 6 9 18 39 nbsp 20 displaystyle 20 nbsp nbsp Nein16 displaystyle 16 nbsp s 16 1 2 4 8 16 31 displaystyle sigma 16 1 2 4 8 16 31 nbsp s 31 1 31 32 displaystyle sigma 31 1 31 32 nbsp 32 displaystyle 32 nbsp nbsp JaDie ersten superperfekten Zahlen sind 2 4 16 64 4096 65536 262144 Folge A019279 in OEIS Jede gerade superperfekte Zahl hat die Form 2 p 1 displaystyle 2 p 1 nbsp wobei 2 p 1 displaystyle 2 p 1 nbsp eine Mersenne Primzahl ist Beispiel 16 ist superperfekt und 31 eine Mersenne Primzahl Umgekehrt liefert jede Mersenne Primzahl eine gerade superperfekte Zahl Ob es ungerade superperfekte Zahlen gibt ist nicht bekannt Verallgemeinerung BearbeitenSuperperfekte Zahlen sind genau wie die vollkommenen Zahlen Beispiele fur Zahlen der Oberklasse von m k superperfekten Zahlen welche wie folgt definiert sind n ist eine m k superperfekte Zahl genau dann wenn s m n k n displaystyle sigma m n k cdot n nbsp gilt Vollkommene Zahlen sind somit 1 2 superperfekt und superperfekte Zahlen 2 2 superperfekt Die Mathematiker G L Cohen und H J J te Riele halten es fur moglich dass jede Zahl m k superperfekt ist fur geeignete m und k Es folgen ein paar Beispiele fur verallgemeinerte m k displaystyle m k nbsp superperfekte Zahlen Die Zahl 21 ist eine 2 3 displaystyle 2 3 nbsp superperfekte Zahl weil gilt s 21 1 3 7 21 32 displaystyle sigma 21 1 3 7 21 32 nbsp s m 21 s 2 21 s s 21 s 32 1 2 4 8 16 32 63 displaystyle sigma m 21 sigma 2 21 sigma sigma 21 sigma 32 1 2 4 8 16 32 63 nbsp Es ist aber auch k 21 3 21 63 displaystyle k cdot 21 3 cdot 21 63 nbsp Die Zahl 14 ist eine 3 12 displaystyle 3 12 nbsp superperfekte Zahl weil gilt s 14 1 2 7 14 24 displaystyle sigma 14 1 2 7 14 24 nbsp s 2 14 s s 14 s 24 1 2 3 4 6 8 12 24 60 displaystyle sigma 2 14 sigma sigma 14 sigma 24 1 2 3 4 6 8 12 24 60 nbsp s m 14 s 3 14 s s s 14 s 60 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 168 displaystyle sigma m 14 sigma 3 14 sigma sigma sigma 14 sigma 60 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 168 nbsp Es ist aber auch k 14 12 14 168 displaystyle k cdot 14 12 cdot 14 168 nbsp Die Zahl 18 ist eine 4 20 displaystyle 4 20 nbsp superperfekte Zahl weil gilt s 18 1 2 3 6 9 18 39 displaystyle sigma 18 1 2 3 6 9 18 39 nbsp s 2 18 s s 18 s 39 1 3 13 39 56 displaystyle sigma 2 18 sigma sigma 18 sigma 39 1 3 13 39 56 nbsp s 3 18 s s s 18 s 56 1 2 4 7 8 14 28 56 120 displaystyle sigma 3 18 sigma sigma sigma 18 sigma 56 1 2 4 7 8 14 28 56 120 nbsp s m 18 s 4 18 s s s s 18 s 120 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 360 displaystyle sigma m 18 sigma 4 18 sigma sigma sigma sigma 18 sigma 120 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 360 nbsp Es ist aber auch k 18 20 18 360 displaystyle k cdot 18 20 cdot 18 360 nbsp Es folgen weitere Beispiele von m k superperfekten Zahlen m k m k superperfekte Zahlen OEIS Folge2 2 2 4 16 64 4096 65536 262144 1073741824 1152921504606846976 309485009821345068724781056 81129638414606681695789005144064 85070591730234615865843651857942052864 Folge A019279 in OEIS2 3 8 21 512 Folge A019281 in OEIS2 4 15 1023 29127 355744082763 Folge A019282 in OEIS2 6 42 84 160 336 1344 86016 550095 1376256 5505024 22548578304 Folge A019283 in OEIS2 7 24 1536 47360 343976 Folge A019284 in OEIS2 8 60 240 960 4092 16368 58254 61440 65472 116508 466032 710400 983040 1864128 3932160 4190208 67043328 119304192 268173312 1908867072 7635468288 16106127360 Folge A019285 in OEIS2 9 168 10752 331520 691200 1556480 1612800 106151936 5099962368 Folge A019286 in OEIS2 10 480 504 13824 32256 32736 1980342 1396617984 3258775296 14763499520 38385098752 Folge A019287 in OEIS2 11 4404480 57669920 238608384 Folge A019288 in OEIS2 12 2200380 8801520 14913024 35206080 140896000 459818240 775898880 2253189120 16785793024 22648550400 36051025920 51001180160 144204103680 Folge A019289 in OEIS3 k 1 12 14 24 52 98 156 294 684 910 1368 1440 4480 4788 5460 5840 6882 7616 9114 14592 18288 22848 32704 40880 52416 53760 54864 56448 60960 65472 94860 120960 122640 169164 185535 186368 194432 Folge A019292 in OEIS4 k 1 2 3 4 6 8 10 12 15 18 21 24 26 32 39 42 60 65 72 84 96 160 182 336 455 512 896 960 992 1023 1280 1536 1848 2040 2688 4092 5920 7808 7936 10416 16352 20384 21824 23424 24564 29127 33792 41440 Folge A019293 in OEISLiteratur BearbeitenD Suryanarayana Super perfect numbers In Elemente der Mathematik 1969 24 S 16 17 digizeitschriften de Dieter Bode Uber eine Verallgemeinerung der vollkommenen Zahlen Dissertation Braunschweig 1971 Richard K Guy Unsolved Problems in Number Theory 3 Auflage Springer 2004 Kapitel B2 und B9 Google books G L Cohen H J J te Riele Iterating the sum of divisors function In Experimental Mathematics 1993 5 S 93 100 projecteuclid orgWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Superperfect Number In MathWorld englisch Superperfect Number In PlanetMath englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Superperfekte Zahl amp oldid 216597731