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Stichproben Regressionsfunktion In der Statistik entspricht eine englisch sample regression function kurz SRF auch empir

Stichproben-Regressionsfunktion

In der Statistik entspricht eine Stichproben-Regressionsfunktion (englisch sample regression function, kurz: SRF), auch empirische Regressionsfunktion, der geschätzten Version der Regressionsfunktion der Grundgesamtheit. Die Stichproben-Regressionsfunktion ist fix, aber in der Grundgesamtheit unbekannt. Handelt es sich bei der Regressionsfunktion um eine Gerade, dann ist auch von einer Stichproben-Regressionsgerade oder empirischen Regressionsgerade die Rede. Die Stichproben-Regressionsgerade wird als Kleinste-Quadrate-Regressionsgerade (kurz: KQ-Regressionsgerade) aus Beobachtungspaaren gewonnen, die Datenpunkte repräsentieren. Sie stellt laut dem Kleinste-Quadrate-Kriterium die bestmögliche Anpassung an die Daten dar.

Einfache lineare Regression Bearbeiten

Wenn man mittels der Kleinste-Quadrate-Schätzung den Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung und den Kleinste-Quadrate-Schätzer für das Absolutglied ermittelt, dann erhält man die folgende KQ-Regressionsgerade:

Diese wird auch Stichproben-Regressionsfunktion genannt, da sie eine geschätzte Variante der (theoretischen) Regressionsfunktion der Grundgesamtheit

darstellt. Die Parameter und werden auch empirische Regressionskoeffizienten genannt. Da die Stichproben-Regressionsfunktion durch eine gegebene Stichprobe gewonnen wird, liefert eine neue Stichprobe einen neuen Anstieg und ein neues Absolutglied . In den meisten Fällen kann man den Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung darstellen als

Durch diese Darstellung kann man erkennen, dass der Kleinste-Quadrate-Schätzer für die Steigung wiedergibt, wie stark sich die Zielgröße verändert, wenn sich die Einflussgröße um eine Einheit erhöht.

Multiple lineare Regression Bearbeiten

Gegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell , mit dem Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der Versuchsplanmatrix , dem Vektor der abhängigen Variablen und dem Vektor der Störgrößen . Dann ist die KQ-Stichproben-Regressionsfunktion bzw. Stichproben-Regressionshyperebene gegeben durch

wobei die Prädiktionsmatrix darstellt.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2013, S. 31.
  2. Otfried Beyer, Horst Hackel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 1976, S. 185.
  3. Jeffrey Marc Wooldridge: Introductory econometrics: A modern approach. 5. Auflage. Nelson Education, 2013, S. 31.
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In der Statistik entspricht eine Stichproben Regressionsfunktion englisch sample regression function kurz SRF auch empirische Regressionsfunktion der geschatzten Version der Regressionsfunktion der Grundgesamtheit Die Stichproben Regressionsfunktion ist fix aber in der Grundgesamtheit unbekannt Handelt es sich bei der Regressionsfunktion um eine Gerade dann ist auch von einer Stichproben Regressionsgerade oder empirischen Regressionsgerade die Rede Die Stichproben Regressionsgerade wird als Kleinste Quadrate Regressionsgerade kurz KQ Regressionsgerade aus Beobachtungspaaren gewonnen die Datenpunkte reprasentieren Sie stellt laut dem Kleinste Quadrate Kriterium die bestmogliche Anpassung an die Daten dar Inhaltsverzeichnis 1 Einfache lineare Regression 2 Multiple lineare Regression 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseEinfache lineare Regression BearbeitenWenn man mittels der Kleinste Quadrate Schatzung den Kleinste Quadrate Schatzer fur die Steigung b 1 S P x y S Q x displaystyle hat beta 1 SP xy SQ x nbsp und den Kleinste Quadrate Schatzer fur das Absolutglied b 0 y b 1 x displaystyle hat beta 0 overline y hat beta 1 overline x nbsp ermittelt dann erhalt man die folgende KQ Regressionsgerade y E y X x b 0 b 1 x displaystyle hat y widehat operatorname E y mid X x hat beta 0 hat beta 1 x quad nbsp Diese wird auch Stichproben Regressionsfunktion genannt da sie eine geschatzte Variante der theoretischen Regressionsfunktion der Grundgesamtheit E y X x b 0 b 1 x displaystyle operatorname E y mid X x beta 0 beta 1 x quad nbsp darstellt 1 Die Parameter b 0 displaystyle hat beta 0 nbsp und b 1 displaystyle hat beta 1 nbsp werden auch empirische Regressionskoeffizienten genannt 2 Da die Stichproben Regressionsfunktion durch eine gegebene Stichprobe gewonnen wird liefert eine neue Stichprobe einen neuen Anstieg b 1 displaystyle hat beta 1 nbsp und ein neues Absolutglied b 0 displaystyle hat beta 0 nbsp In den meisten Fallen kann man den Kleinste Quadrate Schatzer fur die Steigung darstellen als b 1 D y D x displaystyle hat beta 1 Delta hat y Delta x nbsp Durch diese Darstellung kann man erkennen dass der Kleinste Quadrate Schatzer fur die Steigung wiedergibt wie stark sich die Zielgrosse y displaystyle y nbsp verandert wenn sich die Einflussgrosse x displaystyle x nbsp um eine Einheit erhoht 3 Multiple lineare Regression BearbeitenGegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell y X b e displaystyle mathbf y mathbf X boldsymbol beta boldsymbol varepsilon nbsp mit b displaystyle boldsymbol beta nbsp dem p 1 displaystyle p times 1 nbsp Vektor der unbekannten Regressionsparameter der n p displaystyle n times p nbsp Versuchsplanmatrix X displaystyle mathbf X nbsp dem n 1 displaystyle n times 1 nbsp Vektor der abhangigen Variablen y displaystyle mathbf y nbsp und dem n 1 displaystyle n times 1 nbsp Vektor der Storgrossen e displaystyle boldsymbol varepsilon nbsp Dann ist die KQ Stichproben Regressionsfunktion bzw Stichproben Regressionshyperebene y displaystyle hat mathbf y nbsp gegeben durch y X b X X X 1 X P y P y displaystyle hat mathbf y mathbf X hat boldsymbol beta underbrace mathbf X left mathbf X top mathbf X right 1 mathbf X top mathbf P mathbf y mathbf P mathbf y nbsp wobei P displaystyle mathbf P nbsp die Pradiktionsmatrix darstellt Weblinks BearbeitenSpringer Gabler Verlag Gabler Wirtschaftslexikon Stichwort Stichproben RegressionsgeradeEinzelnachweise Bearbeiten Jeffrey Marc Wooldridge Introductory econometrics A modern approach 5 Auflage Nelson Education 2013 S 31 Otfried Beyer Horst Hackel Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 1976 S 185 Jeffrey Marc Wooldridge Introductory econometrics A modern approach 5 Auflage Nelson Education 2013 S 31 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stichproben Regressionsfunktion amp oldid 233434377