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Størmer Zahl Eine auch als Arkuskotangens irreduzible Zahl englisch arc cotangent irreducible number bezeichnet ist eine

Størmer-Zahl

Eine Størmer-Zahl, auch als Arkuskotangens-irreduzible Zahl (englisch arc-cotangent irreducible number) bezeichnet, ist eine natürliche Zahl , für die der größte Primfaktor von größer oder gleich ist. Namensgeber ist der norwegische Geophysiker und Mathematiker Carl Størmer.

Definition Bearbeiten

Eine natürliche Zahl heißt Størmer-Zahl, wenn es eine Primzahl gibt mit und , wobei | für die Teilbarkeitsrelation steht.

Beispiel Bearbeiten

n=33 ist eine Størmer-Zahl. Der größte Primfaktor von ist , und dieser ist größer als .

Størmer-Zahlen Bearbeiten

Folgende Zahlen sind Størmer-Zahlen:

1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 56, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 71, 74, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, …

John Todd hat bewiesen, dass diese Folge weder endlich noch koendlich ist.

Auftreten Bearbeiten

Størmer-Zahlen treten bei der Untersuchung von Werten der Arkuskotangens-Funktion an ganzzahligen Stellen auf. Man nennt einen solchen Wert (auch Gregory-Zahl genannt) reduzibel, wenn er als ganzzahlige Linearkombination

solcher Werte an kleineren Stellen geschrieben werden kann, wie zum Beispiel

Es stellt sich heraus, dass genau dann irreduzibel, also nicht eine solche Linearkombination ist, wenn eine Størmer-Zahl ist. Die gezeigte Art der Zerlegung erklärt die eingangs genannte alternative Bezeichnung „Arkuskotangens-irreduzible Zahl“.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John H. Conway, R. K. Guy: The Book of Numbers, Copernicus Press, S. 246
  2. Folge A005528. Abgerufen am 24. April 2019.
  3. John Todd: A Problem on Arc Tangent Relations, American Mathematical Monthly (1949), Band 56, No. 8, Seiten 517–528. Dieses auch auf JSTOR:2305526.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Eine Stormer Zahl auch als Arkuskotangens irreduzible Zahl englisch arc cotangent irreducible number bezeichnet ist eine naturliche Zahl n displaystyle n fur die der grosste Primfaktor von n 2 1 displaystyle n 2 1 grosser oder gleich 2 n displaystyle 2n ist Namensgeber ist der norwegische Geophysiker und Mathematiker Carl Stormer Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Stormer Zahlen 4 Auftreten 5 Einzelnachweise 6 WeblinksDefinition BearbeitenEine naturliche Zahl n displaystyle n nbsp heisst Stormer Zahl wenn es eine Primzahl p displaystyle p nbsp gibt mit p 2 n displaystyle p geq 2n nbsp und p n 2 1 displaystyle p n 2 1 nbsp wobei fur die Teilbarkeitsrelation steht 1 Beispiel Bearbeitenn 33 ist eine Stormer Zahl Der grosste Primfaktor von n 2 1 33 2 1 1090 2 5 109 displaystyle n 2 1 33 2 1 1090 2 cdot 5 cdot 109 nbsp ist 109 displaystyle 109 nbsp und dieser ist grosser als 2 n 2 33 66 displaystyle 2n 2 cdot 33 66 nbsp Stormer Zahlen BearbeitenFolgende Zahlen sind Stormer Zahlen 2 1 2 4 5 6 9 10 11 12 14 15 16 19 20 22 23 24 25 26 27 28 29 33 34 35 36 37 39 40 42 44 45 48 49 51 52 53 54 56 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 69 71 74 77 78 79 80 81 82 84 85 86 87 88 89 90 92 94 95 96 John Todd hat bewiesen dass diese Folge weder endlich noch koendlich ist Auftreten BearbeitenStormer Zahlen treten bei der Untersuchung von Werten der Arkuskotangens Funktion an ganzzahligen Stellen auf Man nennt einen solchen Wert arccot n displaystyle operatorname arccot n nbsp auch Gregory Zahl genannt reduzibel wenn er als ganzzahlige Linearkombination arccot n k 1 n 1 a k arccot k a k Z displaystyle operatorname arccot n sum k 1 n 1 a k cdot operatorname arccot k quad a k in mathbb Z nbsp solcher Werte an kleineren Stellen geschrieben werden kann wie zum Beispiel arccot 3 arccot 1 arccot 2 arccot 7 arccot 1 2 arccot 2 arccot 8 arccot 3 arccot 5 arccot 57 2 arccot 1 3 arccot 2 arccot 5 arccot 239 arccot 1 4 arccot 5 arccot 682 2 arccot 1 3 arccot 2 2 arccot 11 arccot 12943 3 arccot 1 4 arccot 2 3 arccot 5 arccot 11 displaystyle begin array ll operatorname arccot 3 amp operatorname arccot 1 operatorname arccot 2 operatorname arccot 7 amp operatorname arccot 1 2 cdot operatorname arccot 2 operatorname arccot 8 amp operatorname arccot 3 operatorname arccot 5 operatorname arccot 57 amp 2 cdot operatorname arccot 1 3 cdot operatorname arccot 2 operatorname arccot 5 operatorname arccot 239 amp operatorname arccot 1 4 cdot operatorname arccot 5 operatorname arccot 682 amp 2 cdot operatorname arccot 1 3 cdot operatorname arccot 2 2 cdot operatorname arccot 11 operatorname arccot 12943 amp 3 cdot operatorname arccot 1 4 cdot operatorname arccot 2 3 cdot operatorname arccot 5 operatorname arccot 11 end array nbsp Es stellt sich heraus dass arccot n displaystyle operatorname arccot n nbsp genau dann irreduzibel also nicht eine solche Linearkombination ist wenn n displaystyle n nbsp eine Stormer Zahl ist 3 Die gezeigte Art der Zerlegung erklart die eingangs genannte alternative Bezeichnung Arkuskotangens irreduzible Zahl Einzelnachweise Bearbeiten John H Conway R K Guy The Book of Numbers Copernicus Press S 246 Folge A005528 Abgerufen am 24 April 2019 John Todd A Problem on Arc Tangent Relations American Mathematical Monthly 1949 Band 56 No 8 Seiten 517 528 Dieses auch auf JSTOR 2305526 Weblinks BearbeitenStormer number MathWorld Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stormer Zahl amp oldid 231818230