Ein binomisches Integral ist ein Integral der Form x m a x n b p d x displaystyle int x m left ax n b right p mathrm d x wobei m n p displaystyle m n p rationale Zahlen sind und a 0 n 0 displaystyle a neq 0 n neq 0 Der Satz von Tschebyschow macht nun eine Aussage wann ein binomisches Integral elementar integrierbar ist Elementar integrierbar bedeutet dass das Integral mit Hilfe einer Stammfunktion bestimmt werden kann Inhaltsverzeichnis 1 Satz von Tschebyschow 1 1 Aussage 1 2 Beispiele 2 QuelleSatz von Tschebyschow BearbeitenAussage Bearbeiten Ein binomisches Integral ist elementar integrierbar genau dann wenn mindestens eine der Zahlen p m 1 n displaystyle textstyle p frac m 1 n nbsp bzw m 1 n p displaystyle textstyle frac m 1 n p nbsp ganz ist Ist die Funktion elementar integrierbar so lasst sich in folgenden drei Fallen die Stammfunktion bestimmen p Z displaystyle p in mathbb Z nbsp mit der Substitution x t q displaystyle x t q nbsp wobei q der Hauptnenner von m und n ist m 1 n Z displaystyle frac m 1 n in mathbb Z nbsp mit der Substitution t q a x n b displaystyle t q ax n b nbsp wobei q der Nenner von p ist m 1 n p Z displaystyle frac m 1 n p in mathbb Z nbsp mit der Substitution t q a x n b x n displaystyle t q frac ax n b x n nbsp wobei q der Nenner von p ist Beispiele Bearbeiten 1 Beispiel 1 1 x 4 d x x 0 1 x 4 1 1 2 d x m 0 n 4 p 1 2 p 1 2 Z m 1 n 0 1 4 1 4 Z m 1 n p 0 1 4 1 2 1 4 Z displaystyle begin aligned amp int frac 1 sqrt 1 x 4 mathrm d x int x 0 left 1 cdot x 4 1 right frac 1 2 mathrm d x Rightarrow amp m 0 n 4 p frac 1 2 Rightarrow amp p frac 1 2 notin mathbb Z frac m 1 n frac 0 1 4 frac 1 4 notin mathbb Z frac m 1 n p frac 0 1 4 frac 1 2 frac 1 4 notin mathbb Z end aligned nbsp Somit ist 1 1 x 4 displaystyle textstyle frac 1 sqrt 1 x 4 nbsp nicht elementar integrierbar 2 Beispiel x 3 x 1 2 3 d x x 1 3 1 x 1 1 2 3 d x m 1 3 n 1 p 2 3 p 2 3 Z m 1 n 1 3 1 1 4 3 Z m 1 n p 1 3 1 1 2 3 2 Z displaystyle begin aligned amp int sqrt 3 x sqrt 3 left x 1 right 2 mathrm d x int x frac 1 3 left 1 cdot x 1 1 right frac 2 3 mathrm d x Rightarrow amp m frac 1 3 n 1 p frac 2 3 Rightarrow amp p frac 2 3 notin mathbb Z frac m 1 n frac frac 1 3 1 1 frac 4 3 notin mathbb Z frac m 1 n p frac frac 1 3 1 1 frac 2 3 2 in mathbb Z end aligned nbsp Also ist x 3 x 1 2 3 displaystyle textstyle sqrt 3 x sqrt 3 left x 1 right 2 nbsp elementar integrierbar Quelle Bearbeitenbinomisches Integral In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Binomisches Integral amp oldid 161909281 Satz von Tschebyschow
