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Satz von Sylvester Geometrie Der Satz von Sylvester auch Formel von Sylvester benannt nach James Joseph Sylvester beschr

Satz von Sylvester (Geometrie)

Der Satz von Sylvester (auch Formel von Sylvester, benannt nach James Joseph Sylvester) beschreibt eine geometrische Deutung der Summe dreier paarweise verschiedener aber gleich langer Vektoren. Als Aufgabenstellung formuliert wird er in der Literatur auch als Problem von Sylvester oder Dreiecksaufgabe von Sylvester bezeichnet.

Summe drei gleich langer Vektoren

Aussage Bearbeiten

Trägt man drei gleich lange und paarweise verschiedene Vektoren , und von einem gemeinsamen Punkt ab und erhält so drei Punkte , und , so entspricht der Verbindungsvektor von vom Punkt zum Höhenschnittpunkt des Dreiecks der Summe der drei Vektoren, also:

Aufgrund der Konstruktion des Dreiecks ist der Punkt der Mittelpunkt des zugehörigen Umkreises, daher liegen die Punkte und auf der Euler-Geraden und es besteht mit dem Schwerpunkt des Dreiecks die folgende Beziehung:

Verallgemeinerung Bearbeiten

Summe dreier Vektoren

Verzichtet man auf die gleiche Länge der Vektoren und betrachtet drei beliebige paarweise verschiedene Vektoren, so ist obige Beziehung nicht mehr erfüllt, aber es gilt weiterhin die Beziehung zum Schwerpunkt, das heißt:

Dies folgt direkt aus der Schwerpunktsdefinition für Punkte im und der Tatsache, dass im Fall , also des Dreiecks, der Schwerpunkt der Ecken des Dreiecke mit dem Flächenschwerpunkt des Dreiecks übereinstimmen, Dementsprechend gilt allgemeiner die auch für paarweise verschiedene Vektoren in der Ebene, die von einem gemeinsamen Punkt abgetragen werden:

Hierbei ist dann der Schwerpunkt der Ecken des von den Vektoren aufgespannten Polygons. Man beachte dabei, dass bei einem beliebigen Polygon der Schwerpunkt seiner Ecken nicht mit seinem Flächenschwerpunkt übereinstimmen muss.

Literatur Bearbeiten

  • Michael de Villiers: Generalising a problem of Sylvester. In: The Mathematical Gazette, Band 96, Nr. 535 (März 2012), S. 78–81 (JSTOR)
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 251 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)
  • Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover, 1965, ISBN 0486-61348-8, S. 142 (Online-Kopie im Internetarchiv)

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Sylvester auch Formel von Sylvester benannt nach James Joseph Sylvester beschreibt eine geometrische Deutung der Summe dreier paarweise verschiedener aber gleich langer Vektoren Als Aufgabenstellung formuliert wird er in der Literatur auch als Problem von Sylvester oder Dreiecksaufgabe von Sylvester bezeichnet Summe drei gleich langer Vektoren Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Verallgemeinerung 3 Literatur 4 WeblinksAussage BearbeitenTragt man drei gleich lange und paarweise verschiedene Vektoren u displaystyle vec u nbsp v displaystyle vec v nbsp und w displaystyle vec w nbsp von einem gemeinsamen Punkt O displaystyle O nbsp ab und erhalt so drei Punkte A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp und C displaystyle C nbsp so entspricht der Verbindungsvektor von O H displaystyle overrightarrow OH nbsp vom Punkt O displaystyle O nbsp zum Hohenschnittpunkt H displaystyle H nbsp des Dreiecks A B C displaystyle triangle ABC nbsp der Summe der drei Vektoren also O H u v w displaystyle overrightarrow OH vec u vec v vec w nbsp Aufgrund der Konstruktion des Dreiecks A B C displaystyle triangle ABC nbsp ist der Punkt O displaystyle O nbsp der Mittelpunkt des zugehorigen Umkreises daher liegen die Punkte O displaystyle O nbsp und H displaystyle H nbsp auf der Euler Geraden und es besteht mit dem Schwerpunkt S displaystyle S nbsp des Dreiecks die folgende Beziehung O H 3 O S displaystyle overrightarrow OH 3 cdot overrightarrow OS nbsp Verallgemeinerung Bearbeiten nbsp Summe dreier Vektoren Verzichtet man auf die gleiche Lange der Vektoren und betrachtet drei beliebige paarweise verschiedene Vektoren so ist obige Beziehung nicht mehr erfullt aber es gilt weiterhin die Beziehung zum Schwerpunkt das heisst 3 O S u v w displaystyle 3 cdot overrightarrow OS vec u vec v vec w nbsp Dies folgt direkt aus der Schwerpunktsdefinition fur Punkte im R n displaystyle mathbb R n nbsp und der Tatsache dass im Fall n 3 displaystyle n 3 nbsp also des Dreiecks der Schwerpunkt der Ecken des Dreiecke mit dem Flachenschwerpunkt des Dreiecks ubereinstimmen Dementsprechend gilt allgemeiner die auch fur n displaystyle n nbsp paarweise verschiedene Vektoren in der Ebene die von einem gemeinsamen Punkt O displaystyle O nbsp abgetragen werden n O S i 1 n v i displaystyle n cdot overrightarrow OS sum i 1 n v i nbsp Hierbei ist S displaystyle S nbsp dann der Schwerpunkt der Ecken des von den Vektoren aufgespannten Polygons Man beachte dabei dass bei einem beliebigen Polygon der Schwerpunkt seiner Ecken nicht mit seinem Flachenschwerpunkt ubereinstimmen muss Literatur BearbeitenMichael de Villiers Generalising a problem of Sylvester In The Mathematical Gazette Band 96 Nr 535 Marz 2012 S 78 81 JSTOR Roger A Johnson Advanced Euclidean Geometry Dover 2007 ISBN 978 0 486 46237 0 S 251 Erstveroffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company Boston unter dem Titel Modern Geometry Heinrich Dorrie 100 Great Problems of Elementary Mathematics Dover 1965 ISBN 0486 61348 8 S 142 Online Kopie im Internetarchiv Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Sylvester s Triangle Problem In MathWorld englisch Darij Grinberg Solution to American Mathematical Monthly Problem 11398 by Stanley Huang enthalt den Satz von Sylvester samt Beweis als Hilfssatz Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Sylvester Geometrie amp oldid 229084498