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Satz von Erdős Selfridge Der nicht zu verwechseln mit einem gleichnamigen Satz aus der Spieltheorie ist ein Lehrsatz der

Satz von Erdős-Selfridge

Der Satz von Erdős-Selfridge (nicht zu verwechseln mit einem gleichnamigen Satz aus der Spieltheorie) ist ein Lehrsatz der Zahlentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Er geht auf die beiden Mathematiker Paul Erdős und John L. Selfridge zurück und behandelt ein klassisches Problem über diophantische Gleichungen.

Dieses Problem bezieht sich auf die Frage, ob ein Produkt mehrerer aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen eine echte Potenz natürlicher Zahlen sein kann. Mit ihrem Satz liefern Erdős und Selfridge eine vollständige Lösung dieses Problems und geben auf die Frage eine verneinende Antwort.

Formulierung Bearbeiten

Der Satz lautet:

Oder gleichwertig und etwas formaler:

ist für (ganzzahlig) unlösbar.

Verwandte Probleme Bearbeiten

Zwei verwandte Probleme, denen die gleiche Fragestellung wie beim obigen Satz zugrunde liegt, hat Paul Erdős ebenfalls gelöst, und zwar auch im verneinenden Sinne. Die beiden Resultate lauten wie folgt:

  1. Das Produkt zweier oder mehrerer aufeinanderfolgender ungerader natürlicher Zahlen ist keine echte Potenz mit natürlicher Grund- und Hochzahl. (Erdős 1939).
  2. Der Binomialkoeffizient ist für natürliche Zahlen mit keine echte Potenz mit natürlicher Grund- und Hochzahl. (Erdős 1951).

Literatur Bearbeiten

  • Paul Erdős, J. L. Selfridge: The product of consecutive integers is never a power. In: Illinois J. Math. Band 19, 1975, S. 292–301 (projecteuclid.org [PDF] MR0376517).
  • Paul Erdős, János Surányi: Topics in the Theory of Numbers. Aus dem Ungarischen übersetzt von Barry Guiduli (= Undergraduate Texts in Mathematics). 2. Auflage. Springer Verlag, New York (u. a.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 (MR1950084).
  • Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670).

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. ↑ Erdős, Surányi: S. 226–227.
  2. ↑ Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0, S. 86–87 (MR0930670).
  3. Erdős, Selfridge: The product of consecutive integers is never a power. In: Illinois J. Math. Band 19, S. 292 ff.
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Der Satz von Erdos Selfridge nicht zu verwechseln mit einem gleichnamigen Satz aus der Spieltheorie ist ein Lehrsatz der Zahlentheorie eines Teilgebietes der Mathematik Er geht auf die beiden Mathematiker Paul Erdos und John L Selfridge zuruck und behandelt ein klassisches Problem uber diophantische Gleichungen Dieses Problem bezieht sich auf die Frage ob ein Produkt mehrerer aufeinanderfolgender naturlicher Zahlen eine echte Potenz naturlicher Zahlen sein kann Mit ihrem Satz liefern Erdos und Selfridge eine vollstandige Losung dieses Problems und geben auf die Frage eine verneinende Antwort 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Verwandte Probleme 3 Literatur 4 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung BearbeitenDer Satz lautet 3 1 2 Werden zwei oder mehrere aufeinanderfolgende naturliche Zahlen miteinander multipliziert so ist das Produkt keine echte Potenz mit naturlicher Grund und Hochzahl Oder gleichwertig und etwas formaler Die diophantische Gleichung n 1 n 2 n k m r displaystyle n 1 n 2 cdots n k m r nbsp dd ist fur k 2 r 2 m 2 displaystyle k geq 2 r geq 2 m geq 2 nbsp ganzzahlig unlosbar Verwandte Probleme BearbeitenZwei verwandte Probleme denen die gleiche Fragestellung wie beim obigen Satz zugrunde liegt hat Paul Erdos ebenfalls gelost und zwar auch im verneinenden Sinne Die beiden Resultate lauten wie folgt 2 Das Produkt zweier oder mehrerer aufeinanderfolgender ungerader naturlicher Zahlen ist keine echte Potenz mit naturlicher Grund und Hochzahl Erdos 1939 Der Binomialkoeffizient n k displaystyle binom n k nbsp ist fur naturliche Zahlen n k displaystyle n k nbsp mit k 4 n 2 k displaystyle k geq 4 n geq 2k nbsp keine echte Potenz mit naturlicher Grund und Hochzahl Erdos 1951 Literatur BearbeitenPaul Erdos J L Selfridge The product of consecutive integers is never a power In Illinois J Math Band 19 1975 S 292 301 projecteuclid org PDF MR0376517 Paul Erdos Janos Suranyi Topics in the Theory of Numbers Aus dem Ungarischen ubersetzt von Barry Guiduli Undergraduate Texts in Mathematics 2 Auflage Springer Verlag New York u a 2003 ISBN 0 387 95320 5 MR1950084 Waclaw Sierpinski Elementary Theory of Numbers North Holland Mathematical Library Band 31 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage North Holland u a Amsterdam u a 1988 ISBN 0 444 86662 0 MR0930670 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten a b Erdos Suranyi S 226 227 a b c Waclaw Sierpinski Elementary Theory of Numbers North Holland Mathematical Library Band 31 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage North Holland u a Amsterdam u a 1988 ISBN 0 444 86662 0 S 86 87 MR0930670 Erdos Selfridge The product of consecutive integers is never a power In Illinois J Math Band 19 S 292 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Erdos Selfridge amp oldid 240162406