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Pandiagonales magisches Quadrat Ein pandiagonales magisches Quadrat manchmal auch panmagisch oder diabolisch genannt ist

Pandiagonales magisches Quadrat

Ein pandiagonales magisches Quadrat (manchmal auch panmagisch oder diabolisch genannt) ist ein magisches Quadrat, bei dem zusätzlich auch die gebrochenen Diagonalen die magische Summe ergeben.

Beispiel eines pandiagonalen magischen Quadrats

Gebrochene Diagonalen Bearbeiten

Die gebrochenen Diagonalen verlaufen parallel zur Haupt- bzw. Nebendiagonalen und werden zyklisch betrachtet. Verlässt man also das Quadrat an einem Ende, verläuft die Diagonale auf der gegenüberliegenden Seite weiter.

1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6
1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6

Für die aufwärts verlaufenden gebrochenen Diagonalen gilt also

  • 10+16+7+1 = 34
  • 3+9+14+8 = 34
  • 6+4+11+13 = 34

und ebenso für die abwärts gebrochenen verlaufenden Diagonalen

  • 8+2+9+15 = 34
  • 13+7+4+10 = 34
  • 12+14+5+3 = 34

Verschiebungen Bearbeiten

Die Verschiebung ist eine spezielle Tauschoperation bei magischen Quadraten mit pandiagonaler Eigenschaft. Durch die Verschiebung werden magische Quadrate innerhalb eines Verschiebungsclusters ineinander überführt. Da die gebrochenen Diagonalen auch die magische Summe ergeben, können beliebig viele Zeilen am oberen Rand des Quadrates abgetrennt und unten wieder angefügt werden. Ebenso können beliebig viele Spalten am linken Rand des Quadrates abgetrennt und am rechten Rand wieder angefügt werden. In allen Fällen entsteht wieder ein pandiagonales magisches Quadrat.

Horizontale und vertikale Verschiebungen in einem pandiagonalen magischen Quadrat

Durch eine Kombination der beiden Transformationen kann jede beliebige Zelle des magischen Quadrats in die linke obere Ecke verschoben werden, ohne dass die pandiagonale Eigenschaft verloren geht.

Beliebige Verschiebung in einem pandiagonalen magischen Quadrat

Wesentlich verschieden nennt man daher pandiagonale magische Quadrate, die durch keine Abbildung ineinander überführt werden können.

3x3 pandiagonale magische Quadrate Bearbeiten

Es ist leicht zu überprüfen, dass es kein einziges pandiagonales Quadrat der Ordnung 3 gibt. Für höhere Ordnungen ist die genaue Anzahl teilweise bekannt oder lässt sich abschätzen.

4x4 pandiagonale magische Quadrate Bearbeiten

Insgesamt gibt es 48 pandiagonale magische Quadrate. Jeweils 16 magische Quadrate gehören zu einem der drei Verschiebungscluster. So können alle pandiagonalen magischen Quadrate der 4. Ordnung leicht gebildet werden.

1 8 13 12
14 11 2 7
4 5 16 9
15 10 3 6
1 12 7 14
8 13 2 11
10 3 16 5
15 6 9 4
1 8 11 14
12 13 2 7
6 3 16 9
15 10 5 4

Bei Verschiebung pandiagonaler magischer Quadrate der 4. Ordnung (SG 1) im Verschiebungscluster tritt keine Änderung der inneren Struktur ein. Das ist eine besondere Eigenschaft dieser Strukturgruppe. Die Herleitung dieser Eigenschaft am Strukturbild der Strukturgruppe 1 wird empfohlen.

Original und Komplement gehören bei pandiagonalen magischen Quadraten der 4. Ordnung (SG 1) zum selben Verschiebungscluster.

Die magische Summe 34 tritt in einem pandiagonalen Quadrat 4. Ordnung sehr häufig auf. Am Beispiel des linken Quadrats seien folgende Eigenschaften beispielhaft dargestellt:

  • Die Summe der Zahlen in allen sechzehn 2x2-Teilquadraten ergibt 34, z. B. 1+8+14+11, 8+13+11+2 usw. Dabei können diese Teilquadrate auch zyklisch betrachtet werden, z. B. 12+7+1+14 oder 6+12+15+1.
  • Die Summe der Ecken aller 3x3-Teilquadrate ergibt immer 34, z. B. 1+13+4+16 oder 8+12+5+9.
  • Die diagonal gegenüberliegenden Ecken aller 3x3-Teilquadrate ergeben immer 34. Daher kann es kein symmetrisches pandiagonales Quadrat 4. Ordnung geben.
  • Jedes Paar von horizontal oder vertikal benachbarten Zahlen ergibt mit den Zahlen, die sich zwei Zeilen tiefer und 2 Spalten weiter rechts befinden, addiert immer 34, z. B. 1+8+16+9 oder 1+14+16+3.

5x5 pandiagonale magische Quadrate Bearbeiten

Im Unterschied zu der Ordnung 4 gibt es auch symmetrische pandiagonale Quadrate, da wie im folgenden Beispiel jede Zahl mit ihrer zum Zentrum symmetrischen liegenden Zahl addiert immer das Komplement n2+1 ergibt.

1 15 22 8 19
23 9 16 5 12
20 2 13 24 6
14 21 10 17 3
7 18 4 11 25

Insgesamt gibt es 3600 pandiagonale Quadrate fünfter Ordnung, von denen aber nur 144 wesentlich verschieden sind. Ein sehr altes pandiagonales Quadrat aus dem arabischen Raum stammt aus dem 11. oder 12. Jahrhundert. Die speziellen Eigenschaften eines pandiagonalen Quadrats waren allerdings noch nicht bekannt und wurden erst im 19. Jahrhundert von A. H. Frost analysiert.

15 2 19 6 23
16 8 25 12 4
22 14 1 18 10
3 20 7 24 11
9 21 13 5 17

6x6 pandiagonale magische Quadrate Bearbeiten

Es gibt kein pandiagonales magisches Quadrat 6. Ordnung. Der Nachweis wurde bereits 1878 von A. H. Frost geführt. Ein weiterer eleganter Beweis stammt von C. Planck (1919). Ganz allgemein existiert für keine einfach-gerade Ordnung n=4k+2 ein pandiagonales Quadrat.

7x7 pandiagonale magische Quadrate Bearbeiten

Pandiagonale magische Quadrate dieser Ordnung sind sehr intensiv von Albert L. Candy untersucht worden. Er fand heraus, dass es 678 222 720 pandiagonale Quadrate gibt, von denen 38 102 400 regulär und 640 120 320 irregulär sind.

1 28 39 9 48 19 31
46 16 34 5 24 36 14
27 40 10 43 21 32 2
17 29 7 25 37 13 47
42 11 44 20 33 3 22
30 6 26 38 8 49 18
12 45 15 35 4 23 41
1 43 40 32 28 18 13
24 20 9 2 47 38 35
46 42 31 26 16 8 6
15 12 4 49 39 33 23
41 30 22 19 11 7 45
14 3 48 37 29 27 17
34 25 21 10 5 44 36

8x8 pandiagonale magische Quadrate Bearbeiten

Die Anzahl der pandiagonalen Quadrate 8. Ordnung ist nicht bekannt. Das nachfolgende Beispiel ist mit einem Algorithmus von Portier konstruiert worden. Es ist nicht nur ein pandiagonales, sondern sogar ein cabalistisches magisches Quadrat und besitzt damit folgende Eigenschaften:

  • es ist pandiagonal
  • es ist bimagisch
  • es besitzt trimagische Diagonalen
  • das gesamte Quadrat kann in acht 2x4-Rechtecke aufgeteilt werden, deren Zahlen summiert immer 260 ergeben, z. B. 20+16+39+59+34+62+21+9 = 260
20 16 5 25 54 42 35 63
39 59 50 46 1 29 24 12
34 62 55 43 8 28 17 13
21 9 4 32 51 47 38 58
11 23 30 2 45 49 60 40
64 36 41 53 26 6 15 19
57 37 48 52 31 3 10 22
14 18 27 7 44 56 61 33

9x9 pandiagonale magische Quadrate Bearbeiten

Pandiagonale Quadrate einer Ordnung, die ein Vielfaches von 3 sind, galten lange Zeit als unmöglich. Das erste bekannte Beispiel eines solchen Quadrates stammt von A. H. Frost aus dem Jahre 1878.

57 80 67 12 8 22 48 44 31
10 9 23 46 45 32 55 81 68
47 43 33 56 79 69 11 7 24
62 76 66 17 4 21 53 40 30
18 5 19 54 41 28 63 77 64
52 42 29 61 78 65 16 6 20
58 75 71 13 3 26 49 39 35
14 1 27 50 37 36 59 73 72
51 38 34 60 74 70 15 2 25

Höhere Ordnungen und Konstruktion Bearbeiten

Pandiagonale Quadrate höherer Ordnung lassen sich mit denselben Algorithmen erzeugen, wie Quadrate mit kleiner Ordnung. Dabei unterscheidet man Verfahren für folgende Ordnungen:

  • ungerade Vielfache von 3 (9, 15, 21, …)
  • ungerade, aber keine Vielfache von 3 (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, …)
  • doppelt-gerade (4, 8, 12, …)
  • Primzahlen (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …)

Auch Online findet man Möglichkeiten zur Konstruktion von pandiagonalen magischen Quadraten.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Clifford A Pickover: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton University Press, Princeton 2002, S. 68–77.
  2. Enumeration of magic squares (englisch)
  3. William H. Benson, Oswald Jacoby: New Recreations with Magic Squares. Dover-Publications, New York 1976, S. 49.
  4. Schuyler Cammann: Islamic and Indian Magic Squares (Part I). In: History of Religions. Vol. 8, Nr. 3, 1969, S. 181–209.
  5. ↑ A. H. Frost: On the General Properties of Nasik squares. In: The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol. 15, 1878, S. 34–48.
  6. C. Planck: Pandiagonal Magic squares of Order 6 and 10 with Minimal Numbers. In: The Monist. Vol. 29, 1919, S. 307–316.
  7. Albert L. Candy: Pandiagonal magic squares of prime order. Selbstverlag, 1940.
  8. Brutus Portier: Le Carré Cabalistique de 8. Librairie Adolphe Jourdan, Alger 1902.
  9. Konstruktion von pandiagonalen magischen Quadraten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein pandiagonales magisches Quadrat manchmal auch panmagisch oder diabolisch genannt ist ein magisches Quadrat bei dem zusatzlich auch die gebrochenen Diagonalen die magische Summe ergeben 1 Beispiel eines pandiagonalen magischen Quadrats Inhaltsverzeichnis 1 Gebrochene Diagonalen 2 Verschiebungen 3 3x3 pandiagonale magische Quadrate 4 4x4 pandiagonale magische Quadrate 5 5x5 pandiagonale magische Quadrate 6 6x6 pandiagonale magische Quadrate 7 7x7 pandiagonale magische Quadrate 8 8x8 pandiagonale magische Quadrate 9 9x9 pandiagonale magische Quadrate 10 Hohere Ordnungen und Konstruktion 11 Einzelnachweise 12 WeblinksGebrochene Diagonalen BearbeitenDie gebrochenen Diagonalen verlaufen parallel zur Haupt bzw Nebendiagonalen und werden zyklisch betrachtet Verlasst man also das Quadrat an einem Ende verlauft die Diagonale auf der gegenuberliegenden Seite weiter 1 8 13 1214 11 2 74 5 16 915 10 3 61 8 13 1214 11 2 74 5 16 915 10 3 6 Fur die aufwarts verlaufenden gebrochenen Diagonalen gilt also 10 16 7 1 34 3 9 14 8 34 6 4 11 13 34und ebenso fur die abwarts gebrochenen verlaufenden Diagonalen 8 2 9 15 34 13 7 4 10 34 12 14 5 3 34Verschiebungen BearbeitenDie Verschiebung ist eine spezielle Tauschoperation bei magischen Quadraten mit pandiagonaler Eigenschaft Durch die Verschiebung werden magische Quadrate innerhalb eines Verschiebungsclusters ineinander uberfuhrt Da die gebrochenen Diagonalen auch die magische Summe ergeben konnen beliebig viele Zeilen am oberen Rand des Quadrates abgetrennt und unten wieder angefugt werden Ebenso konnen beliebig viele Spalten am linken Rand des Quadrates abgetrennt und am rechten Rand wieder angefugt werden In allen Fallen entsteht wieder ein pandiagonales magisches Quadrat nbsp Horizontale und vertikale Verschiebungen in einem pandiagonalen magischen QuadratDurch eine Kombination der beiden Transformationen kann jede beliebige Zelle des magischen Quadrats in die linke obere Ecke verschoben werden ohne dass die pandiagonale Eigenschaft verloren geht nbsp Beliebige Verschiebung in einem pandiagonalen magischen QuadratWesentlich verschieden nennt man daher pandiagonale magische Quadrate die durch keine Abbildung ineinander uberfuhrt werden konnen 3x3 pandiagonale magische Quadrate BearbeitenEs ist leicht zu uberprufen dass es kein einziges pandiagonales Quadrat der Ordnung 3 gibt Fur hohere Ordnungen ist die genaue Anzahl teilweise bekannt oder lasst sich abschatzen 2 4x4 pandiagonale magische Quadrate BearbeitenInsgesamt gibt es 48 pandiagonale magische Quadrate Jeweils 16 magische Quadrate gehoren zu einem der drei Verschiebungscluster So konnen alle pandiagonalen magischen Quadrate der 4 Ordnung leicht gebildet werden 1 8 13 1214 11 2 74 5 16 915 10 3 61 12 7 148 13 2 1110 3 16 515 6 9 41 8 11 1412 13 2 76 3 16 915 10 5 4 Bei Verschiebung pandiagonaler magischer Quadrate der 4 Ordnung SG 1 im Verschiebungscluster tritt keine Anderung der inneren Struktur ein Das ist eine besondere Eigenschaft dieser Strukturgruppe Die Herleitung dieser Eigenschaft am Strukturbild der Strukturgruppe 1 wird empfohlen Original und Komplement gehoren bei pandiagonalen magischen Quadraten der 4 Ordnung SG 1 zum selben Verschiebungscluster Die magische Summe 34 tritt in einem pandiagonalen Quadrat 4 Ordnung sehr haufig auf Am Beispiel des linken Quadrats seien folgende Eigenschaften beispielhaft dargestellt Die Summe der Zahlen in allen sechzehn 2x2 Teilquadraten ergibt 34 z B 1 8 14 11 8 13 11 2 usw Dabei konnen diese Teilquadrate auch zyklisch betrachtet werden z B 12 7 1 14 oder 6 12 15 1 Die Summe der Ecken aller 3x3 Teilquadrate ergibt immer 34 z B 1 13 4 16 oder 8 12 5 9 Die diagonal gegenuberliegenden Ecken aller 3x3 Teilquadrate ergeben immer 34 Daher kann es kein symmetrisches pandiagonales Quadrat 4 Ordnung geben Jedes Paar von horizontal oder vertikal benachbarten Zahlen ergibt mit den Zahlen die sich zwei Zeilen tiefer und 2 Spalten weiter rechts befinden addiert immer 34 z B 1 8 16 9 oder 1 14 16 3 5x5 pandiagonale magische Quadrate BearbeitenIm Unterschied zu der Ordnung 4 gibt es auch symmetrische pandiagonale Quadrate da wie im folgenden Beispiel jede Zahl mit ihrer zum Zentrum symmetrischen liegenden Zahl addiert immer das Komplement n2 1 ergibt 3 1 15 22 8 1923 9 16 5 1220 2 13 24 614 21 10 17 37 18 4 11 25Insgesamt gibt es 3600 pandiagonale Quadrate funfter Ordnung von denen aber nur 144 wesentlich verschieden sind Ein sehr altes pandiagonales Quadrat aus dem arabischen Raum stammt aus dem 11 oder 12 Jahrhundert 4 Die speziellen Eigenschaften eines pandiagonalen Quadrats waren allerdings noch nicht bekannt und wurden erst im 19 Jahrhundert von A H Frost analysiert 5 15 2 19 6 2316 8 25 12 422 14 1 18 103 20 7 24 119 21 13 5 176x6 pandiagonale magische Quadrate BearbeitenEs gibt kein pandiagonales magisches Quadrat 6 Ordnung Der Nachweis wurde bereits 1878 von A H Frost gefuhrt 5 Ein weiterer eleganter Beweis stammt von C Planck 1919 6 Ganz allgemein existiert fur keine einfach gerade Ordnung n 4k 2 ein pandiagonales Quadrat 7x7 pandiagonale magische Quadrate BearbeitenPandiagonale magische Quadrate dieser Ordnung sind sehr intensiv von Albert L Candy untersucht worden 7 Er fand heraus dass es 678 222 720 pandiagonale Quadrate gibt von denen 38 102 400 regular und 640 120 320 irregular sind 1 28 39 9 48 19 3146 16 34 5 24 36 1427 40 10 43 21 32 217 29 7 25 37 13 4742 11 44 20 33 3 2230 6 26 38 8 49 1812 45 15 35 4 23 411 43 40 32 28 18 1324 20 9 2 47 38 3546 42 31 26 16 8 615 12 4 49 39 33 2341 30 22 19 11 7 4514 3 48 37 29 27 1734 25 21 10 5 44 368x8 pandiagonale magische Quadrate BearbeitenDie Anzahl der pandiagonalen Quadrate 8 Ordnung ist nicht bekannt Das nachfolgende Beispiel ist mit einem Algorithmus von Portier konstruiert worden 8 Es ist nicht nur ein pandiagonales sondern sogar ein cabalistisches magisches Quadrat und besitzt damit folgende Eigenschaften es ist pandiagonal es ist bimagisch es besitzt trimagische Diagonalen das gesamte Quadrat kann in acht 2x4 Rechtecke aufgeteilt werden deren Zahlen summiert immer 260 ergeben z B 20 16 39 59 34 62 21 9 26020 16 5 25 54 42 35 6339 59 50 46 1 29 24 1234 62 55 43 8 28 17 1321 9 4 32 51 47 38 5811 23 30 2 45 49 60 4064 36 41 53 26 6 15 1957 37 48 52 31 3 10 2214 18 27 7 44 56 61 339x9 pandiagonale magische Quadrate BearbeitenPandiagonale Quadrate einer Ordnung die ein Vielfaches von 3 sind galten lange Zeit als unmoglich Das erste bekannte Beispiel eines solchen Quadrates stammt von A H Frost aus dem Jahre 1878 5 57 80 67 12 8 22 48 44 3110 9 23 46 45 32 55 81 6847 43 33 56 79 69 11 7 2462 76 66 17 4 21 53 40 3018 5 19 54 41 28 63 77 6452 42 29 61 78 65 16 6 2058 75 71 13 3 26 49 39 3514 1 27 50 37 36 59 73 7251 38 34 60 74 70 15 2 25Hohere Ordnungen und Konstruktion BearbeitenPandiagonale Quadrate hoherer Ordnung lassen sich mit denselben Algorithmen erzeugen wie Quadrate mit kleiner Ordnung Dabei unterscheidet man Verfahren fur folgende Ordnungen ungerade Vielfache von 3 9 15 21 ungerade aber keine Vielfache von 3 5 7 11 13 17 19 23 25 doppelt gerade 4 8 12 Primzahlen 5 7 11 13 17 19 23 29 Auch Online findet man Moglichkeiten zur Konstruktion von pandiagonalen magischen Quadraten 9 Einzelnachweise Bearbeiten Clifford A Pickover The Zen of Magic Squares Circles and Stars Princeton University Press Princeton 2002 S 68 77 Enumeration of magic squares englisch William H Benson Oswald Jacoby New Recreations with Magic Squares Dover Publications New York 1976 S 49 Schuyler Cammann Islamic and Indian Magic Squares Part I In History of Religions Vol 8 Nr 3 1969 S 181 209 a b c A H Frost On the General Properties of Nasik squares In The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics Vol 15 1878 S 34 48 C Planck Pandiagonal Magic squares of Order 6 and 10 with Minimal Numbers In The Monist Vol 29 1919 S 307 316 Albert L Candy Pandiagonal magic squares of prime order Selbstverlag 1940 Brutus Portier Le Carre Cabalistique de 8 Librairie Adolphe Jourdan Alger 1902 Konstruktion von pandiagonalen magischen QuadratenWeblinks BearbeitenAusfuhrliche Informationen und Konstruktion von magischen Quadraten Informationen uber pandiagonale Quadrate englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pandiagonales magisches Quadrat amp oldid 225915086