Der Nucleolus auch Nukleolus geschrieben ist ein einzelwertiges Losungskonzept der kooperativen Spieltheorie Dabei unterbreitet ein fairer Schlichter solange Aufteilungsvorschlage bis der Wert der grossen Koalition so verteilt wird dass kein Spieler einen Nachteil daraus zieht Um die Benachteiligung der Spieler zu messen wird der sogenannte Koalitionsuberschuss verwendet 1 Inhaltsverzeichnis 1 Koalitionsuberschuss 2 Vektor der Koalitionsuberschusse 3 Definition Nucleolus 3 1 Nucleolus in verbaler Form 3 2 Nucleolus in formaler Form 4 Beispiel 5 Literatur 6 EinzelnachweiseKoalitionsuberschuss BearbeitenDer Koalitions Uberschuss engl excess e S x displaystyle e S x nbsp beschreibt die Differenz zwischen dem Koalitionswert und der Auszahlung an diese Koalition Eine Koalition ist bezuglich eines Auszahlungsvektors x displaystyle x nbsp umso schlechtergestellt je grosser der Koalitionsuberschuss e S x displaystyle e S x nbsp ist Deshalb kann der Koalitionsuberschuss auch als Mass der Unzufriedenheit der Koalition S displaystyle S nbsp bezuglich des Auszahlungsvektors x displaystyle x nbsp angesehen werden 2 Die Funktion 1 e S x displaystyle 1 cdot e S x nbsp wird als Zufriedenheit von S displaystyle S nbsp mit x displaystyle x nbsp bezeichnet 3 Bezuglich e S x displaystyle e S x nbsp ist darauf zu achten wenn diese negative Zahlen annehmen Dementsprechend sind diese Koalitionsuberschusse umso grosser je naher sie an der Null liegen In einem Spiel G N v displaystyle Gamma N v nbsp wird der Uberschuss einer Koalition S N displaystyle S subseteq N nbsp bezuglich eines Auszahlungsvektor x I v displaystyle x in I v nbsp beschrieben durch e S x v S i S x i displaystyle e S x v S displaystyle sum i in S x scriptscriptstyle i nbsp 4 Vektor der Koalitionsuberschusse BearbeitenDie Koalitionuberschusse e S i x displaystyle e S i x nbsp mit i 1 2 2 n displaystyle i in 1 2 2 n nbsp seien nicht aufsteigend sortiert sodass e S 1 x displaystyle e S scriptscriptstyle 1 x nbsp die grosste Unzufriedenheit beschreibt e S 1 x displaystyle e S scriptscriptstyle 1 x nbsp wird in diesem Fall verkurzend durch 8 i x displaystyle theta i x nbsp beschrieben Insgesamt ist der Vektor der geordneten Koalitionsuberschusse 8 x displaystyle Theta x nbsp definiert mit 8 x 8 1 x 8 2 x 8 3 x 8 2 n x displaystyle Theta x theta scriptscriptstyle 1 x theta scriptscriptstyle 2 x theta scriptscriptstyle 3 x theta scriptscriptstyle 2 n x nbsp wobei 8 i x 8 j x displaystyle theta scriptscriptstyle i x geq theta scriptscriptstyle j x nbsp und i j displaystyle i leq j nbsp mit i j 1 2 2 n displaystyle i j in 1 2 2 n nbsp gilt Dabei betragen die Uberschusse der leeren Koalition als auch der grossen Koalition Null 5 Definition Nucleolus BearbeitenDer Nucleolus wird nachfolgend in verbaler Form als auch mathematisch formaler Form beschrieben Nucleolus in verbaler Form Bearbeiten 1 Schritt Finde zunachst alle Imputationen fur die der grosste Koalitionuberschuss unter allen Koalitionen ausser der grossen Koalition oder der leeren Koalition so klein wie moglich ist Wenn es nur genau eine solche Imputation gibt dann ist der Nucleolus gefunden 2 Schritt Ist dies nicht der Fall dann bestimme die Koalitionen fur die der gefundene grosste Koalitionuberschuss aus dem ersten Schritt nicht weiter verringert werden kann Fahre dann mit den verbleibenden Koalitionen fort und finde unter den im ersten Schritt gefundenen Imputationen diejenigen Imputationen fur die der grosste Koalitionuberschuss unter diesen verbleibenden Koalitionen so gering wie moglich ist Wenn es nur genau eine solche Imputation gibt dann ist der Nucleolus gefunden 3 Schritt Ist dies nicht der Fall dann bestimme die Koalitionen fur die der gefundene grosste Koalitionuberschuss aus dem zweiten Schritt nicht weiter verringert werden kann Fahre dann mit den verbleibenden Koalitionen fort und finde unter den im zweiten Schritt gefundenen Imputationen diejenigen Imputationen fur die der grosste Koalitionuberschuss unter diesen verbleibenden Koalitionen so gering wie moglich ist Wenn es nur genau eine solche Imputation gibt dann ist der Nucleolus gefunden 4 Schritt usw Das Prinzip des Nucleolus ist somit die grosste Unzufriedenheit zu minimieren Gibt es dafur mehrere Moglichkeiten dann wird auch die zweitgrosste Unzufriedenheit minimiert und so weiter bis eine eindeutige Verteilung erreicht ist 6 Nucleolus in formaler Form Bearbeiten Der Nucleolus n u c v displaystyle nuc v nbsp eines Spieles G N v displaystyle Gamma N v nbsp ist ein Element x displaystyle x nbsp der Menge aller Imputationen I v displaystyle displaystyle I v nbsp die 8 x displaystyle Theta x nbsp lexikografisch minimiert n u c v x I v 8 x L e x 8 y f u r a l l e y I v displaystyle nuc v left lbrace x in I v Theta x leq scriptscriptstyle Lex Theta y f ddot u r alle y in I v right rbrace nbsp 7 Beispiel BearbeitenKoalitionsfunktion des Bei Spiels 8 S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp v S displaystyle displaystyle v S nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 700 displaystyle displaystyle 700 nbsp 500 displaystyle displaystyle 500 nbsp 500 displaystyle displaystyle 500 nbsp 1200 displaystyle displaystyle 1200 nbsp Die Uberschusse des Spieles sind berechnet mit S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp e S x displaystyle displaystyle e S x nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 200 x A displaystyle displaystyle 200 x scriptscriptstyle A nbsp 200 x B displaystyle displaystyle 200 x scriptscriptstyle B nbsp 200 x C displaystyle displaystyle 200 x scriptscriptstyle C nbsp 700 x A x B displaystyle displaystyle 700 x scriptscriptstyle A x scriptscriptstyle B nbsp 500 x A x C displaystyle displaystyle 500 x scriptscriptstyle A x scriptscriptstyle C nbsp 500 x B x C displaystyle displaystyle 500 x scriptscriptstyle B x scriptscriptstyle C nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 1 Schritt Vorschlag x 1 x A x B x C 400 400 400 displaystyle x scriptscriptstyle 1 x scriptscriptstyle A x scriptscriptstyle B x scriptscriptstyle C 400 400 400 nbsp S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp e S x 8 x 1 displaystyle displaystyle e S x boldsymbol theta x scriptscriptstyle 1 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 100 displaystyle displaystyle 100 nbsp 300 displaystyle displaystyle 300 nbsp 300 displaystyle displaystyle 300 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp Resultat Vektor der geordneten Uberschusse 8 x 1 0 0 100 200 200 200 300 300 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 1 0 0 100 200 200 200 300 300 nbsp Fazit Koalition A B displaystyle A B nbsp ist am unzufriedensten Schlussfolgerung Den Anteil der Koalition A B displaystyle A B nbsp im nachsten Schritt erhohen 2 Schritt Vorschlag x 2 x A x B x C 450 450 300 displaystyle x scriptscriptstyle 2 x scriptscriptstyle A x scriptscriptstyle B x scriptscriptstyle C 450 450 300 nbsp S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp e S x 8 x 2 displaystyle displaystyle e S x boldsymbol theta x scriptscriptstyle 2 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 250 displaystyle displaystyle 250 nbsp 250 displaystyle displaystyle 250 nbsp 100 displaystyle displaystyle 100 nbsp 200 displaystyle displaystyle 200 nbsp 250 displaystyle displaystyle 250 nbsp 250 displaystyle displaystyle 250 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp Resultat Vektor der geordneten Uberschusse 8 x 2 0 0 100 200 250 250 250 250 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 2 0 0 100 200 250 250 250 250 nbsp Vergleich beider Vektoren Vektor 8 x 2 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 2 nbsp ist lexikografisch kleiner als Vektor 8 x 1 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 1 nbsp 8 x 2 lt L e x 8 x 1 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 2 lt scriptscriptstyle Lex Theta x scriptscriptstyle 1 nbsp Fazit Der Vektor der geordneter Uberschusse ist lexikografisch kleiner geworden aber Koalitionar C displaystyle C nbsp ist am unzufriedensten Schlussfolgerung Den Anteil des Koalitionar C displaystyle C nbsp im nachsten Schritt erhohen 3 Schritt Vorschlag x 3 x A x B x C 420 420 360 displaystyle x scriptscriptstyle 3 x scriptscriptstyle A x scriptscriptstyle B x scriptscriptstyle C 420 420 360 nbsp S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp e S x 8 x 2 displaystyle displaystyle e S x boldsymbol theta x scriptscriptstyle 2 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 220 displaystyle displaystyle 220 nbsp 220 displaystyle displaystyle 220 nbsp 160 displaystyle displaystyle 160 nbsp 140 displaystyle displaystyle 140 nbsp 280 displaystyle displaystyle 280 nbsp 280 displaystyle displaystyle 280 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp Resultat Vektor der geordneten Uberschusse 8 x 3 0 0 140 160 220 220 280 280 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 3 0 0 140 160 220 220 280 280 nbsp Vergleich beider Vektoren Vektor 8 x 3 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 3 nbsp ist lexikografisch kleiner als Vektor 8 x 2 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 2 nbsp 8 x 3 lt L e x 8 x 2 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 3 lt scriptscriptstyle Lex Theta x scriptscriptstyle 2 nbsp Fazit Der Vektor der geordneter Uberschusse ist lexikografisch kleiner geworden aber Koalition A B displaystyle A B nbsp ist am unzufriedensten Schlussfolgerung Den Anteil der Koalition A B displaystyle A B nbsp im nachsten Schritt erhohen 4 Schritt Vorschlag x 4 x A x B x C 425 425 350 displaystyle x scriptscriptstyle 4 x scriptscriptstyle A x scriptscriptstyle B x scriptscriptstyle C 425 425 350 nbsp S displaystyle displaystyle S nbsp displaystyle displaystyle emptyset nbsp A displaystyle displaystyle A nbsp B displaystyle displaystyle B nbsp C displaystyle displaystyle C nbsp A B displaystyle displaystyle A B nbsp A C displaystyle displaystyle A C nbsp B C displaystyle displaystyle B C nbsp A B C displaystyle displaystyle A B C nbsp e S x 8 x 2 displaystyle displaystyle e S x boldsymbol theta x scriptscriptstyle 2 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp 225 displaystyle displaystyle 225 nbsp 225 displaystyle displaystyle 225 nbsp 150 displaystyle displaystyle 150 nbsp 150 displaystyle displaystyle 150 nbsp 275 displaystyle displaystyle 275 nbsp 275 displaystyle displaystyle 275 nbsp 0 displaystyle displaystyle 0 nbsp Resultat Vektor der geordneten Uberschusse 8 x 4 0 0 150 150 225 225 275 275 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 4 0 0 150 150 225 225 275 275 nbsp Vergleich beider Vektoren Vektor 8 x 4 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 4 nbsp ist lexikografisch kleiner als Vektor 8 x 3 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 3 nbsp 8 x 4 lt L e x 8 x 3 displaystyle Theta x scriptscriptstyle 4 lt scriptscriptstyle Lex Theta x scriptscriptstyle 3 nbsp Fazit Der Vektor der geordneter Uberschusse ist lexikografisch kleiner geworden Ausserdem ist keine Verbesserung im Sinne des Nucleolus mehr moglich Schlussfolgerung Der Nucleolus ist gefunden mit n u c v 425 425 350 displaystyle nuc v 425 425 350 nbsp 9 Literatur BearbeitenBastian Fromen Faire Aufteilung in Unternehmensnetzwerken Losungsvorschlage auf der Basis der kooperativen Spieltheorie Deutscher Universitats Verlag Wiesbaden 2004 ISBN 978 3 8244 8164 4 Michael Maschler Eilon Solan Shmuel Zamir Game Theory 2nd Edition Cambridge University Press Cambridge 2020 ISBN 978 1 108 49345 1 David Muller Investitionscontrolling Entscheidungsfindung bei Investitionen II Entscheidungstheorie 3 Aufl Springer Gabler Berlin u a 2022 ISBN 978 3 658 36596 7 Hans Peters Game Theory A Multi Leveled Approach Second Edition Springer Berlin u a 2015 ISBN 3 662 46949 9 David Schmeidler The nucleolus of a characteristic function game In Journal of Applied Mathematics Volume 17 Issue 6 1969 doi 10 1137 0117107 S 1163 1170 Harald Wiese Kooperative Spieltheorie Oldenbourg Munchen 2005 ISBN 3 486 57745 X doi 10 1524 9783486837469 Einzelnachweise Bearbeiten Vgl Muller 2022 S 506 Vgl Muller 2022 S 507 Vgl Fromen 2004 S 121 Vgl Fromen 2004 S 121 Peters 2015 S 159 Maschler et al 2020 S 850 Muller 2022 S 507 Schmeidler 1969 S 1163 Vgl Fromen 2004 S 121 122 Peters 2015 S 346 Maschler et al 2020 S 850 851 Muller 2022 S 507 Vgl Peters 2015 S 160 Vgl Fromen 2004 S 123 Maschler et al 2020 S 852 Muller 2022 S 508 Peters 2015 S 346 Schmeidler 1969 S 1163 Wiese 2005 S 175 Vgl Muller 2022 S 479 Vgl Muller 2022 S 509 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nucleolus Spieltheorie amp oldid 227991253
