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Legendre Knoten In der Kontaktgeometrie einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet man als Knoten die tangential zur Kon

Legendre-Knoten

In der Kontaktgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man als Legendre-Knoten Knoten, die tangential zur Kontaktstruktur sind.

Jeder Knoten kann durch Legendre-Knoten beliebig gut approximiert werden. Man bezeichnet Legendre-Knoten als legendre-isotop, wenn es eine Isotopie durch Legendre-Knoten gibt. Die Klassifikation von Legendre-Knoten ist eine Verfeinerung der Klassifikation von Knoten und benötigt feinere Invarianten.

Definition Bearbeiten

Ein Legendre-Knoten in einer Kontaktmannigfaltigkeit mit Kontaktstruktur ist eine differenzierbare Einbettung , die in jedem Punkt tangential an das Ebenenfeld ist, also für alle erfüllt.

Legendre-Knoten im euklidischen Raum Bearbeiten

Insbesondere betrachtet man Legendre-Knoten für die Standard-Kontaktstruktur des . Dies sind also differenzierbare Einbettungen , die erfüllen.

Frontprojektion Bearbeiten

Frontprojektion eines Legendre-Knotens (topologischer Unknoten)
Frontprojektion eines Legendre-Knotens (topologischer Achterknoten)

Als Frontprojektion bezeichnet man die Projektion des Legendre-Knotens auf die --Ebene. Aus einer Frontprojektion kann man die -Koordinate und damit den Knoten mittels rekonstruieren.

Ein Knotendiagramm ist genau dann Frontprojektion eines Legendre-Knotens, wenn keine vertikalen Tangenten auftreten, alle Singularitäten Spitzen sind und an jeder Überkreuzung die Steigung des überkreuzenden Bogens kleiner als die des unterkreuzenden Bogens ist.

Zwei Frontprojektionen sind genau dann legendre-isotop, wenn sie durch eine endlichen Folge von Front-Reidemeisterbewegungen und regulärer Isotopie auseinander hervorgehen.

Lagrange-Projektion Bearbeiten

Als Lagrange-Projektion bezeichnet man die Projektion des Legendre-Knotens auf die --Ebene. Sie ist eine Immersion, die -Koordinate kann (eindeutig bis auf Addition einer Konstanten) durch rekonstruiert werden.

Die Lagrange-Projektion eines Legendre-Knotens schließt eine Fläche ein, deren orientierter Flächeninhalt verschwindet.

Invarianten Bearbeiten

Klassische Invarianten eines Legendre-Knotens sind der zugrundeliegende topologische Knotentyp, die Rotationszahl und die Thurston-Bennequin-Zahl, eine weitere Invariante ist die Chekanov-Eliashberg-DGA.

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In der Kontaktgeometrie einem Teilgebiet der Mathematik bezeichnet man als Legendre Knoten Knoten die tangential zur Kontaktstruktur sind Jeder Knoten kann durch Legendre Knoten beliebig gut approximiert werden Man bezeichnet Legendre Knoten als legendre isotop wenn es eine Isotopie durch Legendre Knoten gibt Die Klassifikation von Legendre Knoten ist eine Verfeinerung der Klassifikation von Knoten und benotigt feinere Invarianten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Legendre Knoten im euklidischen Raum 2 1 Frontprojektion 2 2 Lagrange Projektion 3 InvariantenDefinition BearbeitenEin Legendre Knoten in einer Kontaktmannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit Kontaktstruktur a displaystyle alpha nbsp ist eine differenzierbare Einbettung g S 1 M displaystyle gamma colon S 1 to M nbsp die in jedem Punkt tangential an das Ebenenfeld K e r n a displaystyle Kern alpha nbsp ist also a g t 0 displaystyle alpha gamma prime t 0 nbsp fur alle t S 1 displaystyle t in S 1 nbsp erfullt Legendre Knoten im euklidischen Raum BearbeitenInsbesondere betrachtet man Legendre Knoten fur die Standard Kontaktstruktur a d z x d y displaystyle alpha dz xdy nbsp des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Dies sind also differenzierbare Einbettungen g t x t y t z t displaystyle gamma t x t y t z t nbsp die z y x 0 displaystyle z prime yx prime equiv 0 nbsp erfullen Frontprojektion Bearbeiten nbsp Frontprojektion eines Legendre Knotens topologischer Unknoten nbsp Frontprojektion eines Legendre Knotens topologischer Achterknoten Als Frontprojektion bezeichnet man die Projektion des Legendre Knotens auf die x displaystyle x nbsp z displaystyle z nbsp Ebene Aus einer Frontprojektion kann man die y displaystyle y nbsp Koordinate und damit den Knoten mittels y t z t x t displaystyle textstyle y t frac z prime t x prime t nbsp rekonstruieren Ein Knotendiagramm ist genau dann Frontprojektion eines Legendre Knotens wenn keine vertikalen Tangenten auftreten alle Singularitaten Spitzen sind und an jeder Uberkreuzung die Steigung des uberkreuzenden Bogens kleiner als die des unterkreuzenden Bogens ist Zwei Frontprojektionen sind genau dann legendre isotop wenn sie durch eine endlichen Folge von Front Reidemeisterbewegungen und regularer Isotopie auseinander hervorgehen Lagrange Projektion Bearbeiten Als Lagrange Projektion bezeichnet man die Projektion des Legendre Knotens auf die x displaystyle x nbsp y displaystyle y nbsp Ebene Sie ist eine Immersion die z displaystyle z nbsp Koordinate kann eindeutig bis auf Addition einer Konstanten durch z t z 0 0 t y s x s d s displaystyle z t z 0 int 0 t y s x prime s ds nbsp rekonstruiert werden Die Lagrange Projektion eines Legendre Knotens schliesst eine Flache ein deren orientierter Flacheninhalt verschwindet Invarianten BearbeitenKlassische Invarianten eines Legendre Knotens sind der zugrundeliegende topologische Knotentyp die Rotationszahl und die Thurston Bennequin Zahl eine weitere Invariante ist die Chekanov Eliashberg DGA Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Legendre Knoten amp oldid 229346951