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CUSUM In der statistischen Prozess und Qualitätskontrolle ist die kumulative Summe oder von englisch cumulative sum eine

CUSUM

In der statistischen Prozess- und Qualitätskontrolle ist die kumulative Summe oder CUSUM (von englisch cumulative sum) eine sequentielle Analysemethode zur Entdeckung von Änderungen in einer sequentiellen Datenreihe oder Zeitreihe (z. B. Kurswechsel bzw. Wendepunkte). E. S. Page definierte 1954 eine Qualitätszahl , einen Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung; z. B. den Erwartungswert. Er entwickelte CUSUM als Methode, um generelle Änderungen des Parameters aus zufälligem Rauschen herauszufiltern, und schlug ein Grenzkriterium vor, ab dem in den Prozess eingegriffen werden sollte. Einige Jahre später stellte George Alfred Barnard das V-Mask Diagramm vor zur visuellen Entdeckung von Änderungen von .

Vorgehensweise Bearbeiten

CUSUM betrachtet die kumulative Summen von Datenwerten und vorgegebenen Werten :

Es ist wichtig anzumerken, dass CUSUM nicht die bloße kumulative Summe der Datenwerte ist, sondern die kumulative Summe der Differenzen zwischen den Datenwerten und . Überschreitet der Wert von einen vorgegebenen Grenzwert, dann hat man eine Änderung gefunden. CUSUM erkennt also nicht nur scharfe Datenwertänderungen, sondern auch schrittweise und kontinuierliche über den Betrachtungszeitraum. Meist handelt es sich bei um eine Likelihood-Funktion, obwohl dies in Pages Artikel nicht so spezifiziert wird.

Beispiele Bearbeiten

Beispiel 1 Bearbeiten

In dem Beispiel wird vorgegeben und betrachtet werden sowohl positive als auch negative kumulierte Abweichungen:

Grafische Darstellung der CUSUM Berechnung.
n Datenwert CUSUM
0 0 0 0
1 2 −3 0 3 −3
2 4 −1 0 4 −4
3 7 +2 2 2 −2
4 3 −2 0 4 −4
5 9 +4 4 0 0

kann auch aufgefasst werden:

  1. Alle Datenpunkte werden mittelwertbereinigt () und
  2. zu jedem dadurch neu entstandenen Wert werden alle vorhergehenden mittelwertbereinigten Differenzen addiert.

Der Mittelwert ist dabei die Likelihoodschätzung für den Erwartungswert normalverteilter Datenwerte.

Beispiel 2 Bearbeiten

Die folgenden Grafiken zeigen den Verlauf von , und in verschiedenen Situationen:

  • links: der Mittelwert des Prozesses ändert sich nicht
  • mitte: der Mittelwert des Prozesses wird langsam größer (im Verhältnis zur Streuung)
  • rechts: der Mittelwert springt abrupt nach oben nach 60 Zeiteinheiten

In den Daten (oben) sind diese Änderungen kaum zu erkennen, jedoch im Verlauf der , und Kurven (unten).

Literatur Bearbeiten

  • Michèle Basseville, Igor V. Nikiforov: Detection of Abrupt Changes: Theory and Application. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1993, ISBN 0-13-126780-9 (englisch, irisa.fr).
  • Douglas M. Hawkins, David H. Olwell: Cumulative sum charts and charting for quality improvement. Springer Verlag, 1998, ISBN 0-387-98365-1 (englisch).

Weblinks Bearbeiten

  • http://www.medialabinc.net/keyword-details.asp?keyword=CUSUM&courseid=1026

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. E. S. Page: Continuous Inspection Schemes. In: Biometrika. Band 41, Nr. 1/2, Juni 1954, ISSN 0006-3444, S. 100–115, JSTOR:2333009 (englisch).
  2. G. A. Barnard: Control Charts and Stochastic Processes. In: Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). Band 21, Nr. 2, 1959, ISSN 0035-9246, S. 239–271, JSTOR:2983801 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
In der statistischen Prozess und Qualitatskontrolle ist die kumulative Summe oder CUSUM von englisch cumulative sum eine sequentielle Analysemethode zur Entdeckung von Anderungen in einer sequentiellen Datenreihe oder Zeitreihe z B Kurswechsel bzw Wendepunkte 1 E S Page definierte 1954 eine Qualitatszahl 8 displaystyle theta einen Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung z B den Erwartungswert Er entwickelte CUSUM als Methode um generelle Anderungen des Parameters aus zufalligem Rauschen herauszufiltern und schlug ein Grenzkriterium vor ab dem in den Prozess eingegriffen werden sollte Einige Jahre spater stellte George Alfred Barnard das V Mask Diagramm vor zur visuellen Entdeckung von Anderungen von 8 displaystyle theta 2 Inhaltsverzeichnis 1 Vorgehensweise 2 Beispiele 2 1 Beispiel 1 2 2 Beispiel 2 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseVorgehensweise BearbeitenCUSUM betrachtet die kumulative Summen von Datenwerten x n displaystyle x n nbsp und vorgegebenen Werten w n displaystyle omega n nbsp S 0 0 displaystyle S 0 0 nbsp S n max 0 S n 1 x n w n displaystyle S n max 0 S n 1 x n omega n nbsp Es ist wichtig anzumerken dass CUSUM nicht die blosse kumulative Summe der Datenwerte ist sondern die kumulative Summe der Differenzen zwischen den Datenwerten x n displaystyle x n nbsp und w n displaystyle omega n nbsp Uberschreitet der Wert von S n 1 displaystyle S n 1 nbsp einen vorgegebenen Grenzwert dann hat man eine Anderung gefunden CUSUM erkennt also nicht nur scharfe Datenwertanderungen sondern auch schrittweise und kontinuierliche uber den Betrachtungszeitraum Meist handelt es sich bei w displaystyle omega nbsp um eine Likelihood Funktion obwohl dies in Pages Artikel nicht so spezifiziert wird Beispiele BearbeitenBeispiel 1 Bearbeiten In dem Beispiel wird vorgegeben w n 5 displaystyle omega n 5 nbsp und betrachtet werden sowohl positive als auch negative kumulierte Abweichungen S 0 S 0 S 0 0 displaystyle S 0 S 0 S 0 0 nbsp S n max 0 S n 1 x n w n displaystyle S n max 0 S n 1 x n omega n nbsp S n min 0 S n 1 x n w n displaystyle S n min 0 S n 1 x n omega n nbsp S n S n 1 w n x n displaystyle S n S n 1 omega n x n nbsp nbsp Grafische Darstellung der CUSUM Berechnung n Datenwert x n displaystyle x n nbsp x n w n displaystyle x n omega n nbsp S n displaystyle S n nbsp S n displaystyle S n nbsp CUSUM S n displaystyle S n nbsp 0 0 0 01 2 3 0 3 32 4 1 0 4 43 7 2 2 2 24 3 2 0 4 45 9 4 4 0 0S n displaystyle S n nbsp kann auch aufgefasst werden Alle Datenpunkte werden mittelwertbereinigt x n w n displaystyle x n omega n nbsp und zu jedem dadurch neu entstandenen Wert werden alle vorhergehenden mittelwertbereinigten Differenzen addiert Der Mittelwert ist dabei die Likelihoodschatzung fur den Erwartungswert normalverteilter Datenwerte Beispiel 2 Bearbeiten Die folgenden Grafiken zeigen den Verlauf von S n displaystyle S n nbsp S n displaystyle S n nbsp und S n displaystyle S n nbsp in verschiedenen Situationen links der Mittelwert des Prozesses andert sich nicht mitte der Mittelwert des Prozesses wird langsam grosser im Verhaltnis zur Streuung rechts der Mittelwert springt abrupt nach oben nach 60 ZeiteinheitenIn den Daten oben sind diese Anderungen kaum zu erkennen jedoch im Verlauf der S n displaystyle S n nbsp S n displaystyle S n nbsp und S n displaystyle S n nbsp Kurven unten nbsp Literatur BearbeitenMichele Basseville Igor V Nikiforov Detection of Abrupt Changes Theory and Application Prentice Hall Englewood Cliffs N J 1993 ISBN 0 13 126780 9 englisch irisa fr Douglas M Hawkins David H Olwell Cumulative sum charts and charting for quality improvement Springer Verlag 1998 ISBN 0 387 98365 1 englisch Weblinks Bearbeitenhttp www medialabinc net keyword details asp keyword CUSUM amp courseid 1026Einzelnachweise Bearbeiten E S Page Continuous Inspection Schemes In Biometrika Band 41 Nr 1 2 Juni 1954 ISSN 0006 3444 S 100 115 JSTOR 2333009 englisch G A Barnard Control Charts and Stochastic Processes In Journal of the Royal Statistical Society Series B Methodological Band 21 Nr 2 1959 ISSN 0035 9246 S 239 271 JSTOR 2983801 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title CUSUM amp oldid 232498448