Interquartilsabstand deskriptive Statistik Der Interquartilsabstand 1 auch kurz Quartilsabstand genannt 2 und mit IQA 1

Interquartilsabstand (deskriptive Statistik)

Der Interquartilsabstand, auch kurz Quartilsabstand genannt und mit IQA oder IQR (nach der englischen Bezeichnung interquartile range) abgekürzt, ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik. Sortiert man eine Stichprobe der Größe nach, so gibt der Interquartilsabstand an, wie breit das Intervall ist, in dem die mittleren 50 % der Stichprobeelemente liegen.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Stichprobe

mit Elementen, die der Größe nach sortiert sind. Es gilt also

Des Weiteren sei das untere Quartil und das obere Quartil. Diese sind definiert als

Hierbei bezeichnet die Abrundungsfunktion. Sie rundet jede Zahl auf die nächste ganze Zahl ab. Es gilt also beispielsweise und .

Der Interquartilsabstand ist dann definiert als

und ist somit genau die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil.

Beispiel Bearbeiten

Betrachte die Stichprobe

mit Elementen. Sortiert man die Elemente der Größe nach, so erhält man

Zur Bestimmung des unteren Quartils berechnet man , was nicht ganzzahlig ist. Daher ist gemäß der oben angegebenen Definition

Analog folgt

Damit erhält man für den Interquartilsabstand

Aufbauende Begriffe Bearbeiten

Aufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert, der mit MQA oder QD (nach der englischen Bezeichnung quartile deviation) abgekürzt wird. Er ist definiert als

Im obigen Beispiel wäre der mittlere Quartilsabstand somit

Einzelnachweise Bearbeiten

↑ Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, S. 54, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.
Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, S. 32, doi:10.1007/978-3-658-03077-3.
Eric W. Weisstein: Interquartile Range. In: MathWorld (englisch).
Eric W. Weisstein: Quartile Deviation. In: MathWorld (englisch).

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Veröffentlichungsdatum: November 27, 2023, 21:26 pm

Der Interquartilsabstand 1 auch kurz Quartilsabstand genannt 2 und mit IQA 1 oder IQR nach der englischen Bezeichnung interquartile range 3 abgekurzt ist ein Streuungsmass in der deskriptiven Statistik Sortiert man eine Stichprobe der Grosse nach so gibt der Interquartilsabstand an wie breit das Intervall ist in dem die mittleren 50 der Stichprobeelemente liegen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Aufbauende Begriffe 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei eine Stichprobe x x 1 x 2 x n displaystyle x x 1 x 2 dots x n nbsp mit n displaystyle n nbsp Elementen die der Grosse nach sortiert sind Es gilt also x 1 x 2 x n displaystyle x 1 leq x 2 leq dots leq x n nbsp Des Weiteren sei x 0 25 displaystyle x 0 25 nbsp das untere Quartil und x 0 75 displaystyle x 0 75 nbsp das obere Quartil Diese sind definiert als x 0 25 1 2 x n 0 25 x n 0 25 1 wenn n 0 25 ganzzahlig x n 0 25 1 wenn n 0 25 nicht ganzzahlig displaystyle x 0 25 begin cases tfrac 1 2 x n cdot 0 25 x n cdot 0 25 1 amp text wenn n cdot 0 25 text ganzzahlig x lfloor n cdot 0 25 1 rfloor amp text wenn n cdot 0 25 text nicht ganzzahlig end cases nbsp und x 0 75 1 2 x n 0 75 x n 0 75 1 wenn n 0 75 ganzzahlig x n 0 75 1 wenn n 0 75 nicht ganzzahlig displaystyle x 0 75 begin cases tfrac 1 2 x n cdot 0 75 x n cdot 0 75 1 amp text wenn n cdot 0 75 text ganzzahlig x lfloor n cdot 0 75 1 rfloor amp text wenn n cdot 0 75 text nicht ganzzahlig end cases nbsp Hierbei bezeichnet x displaystyle lfloor x rfloor nbsp die Abrundungsfunktion Sie rundet jede Zahl x displaystyle x nbsp auf die nachste ganze Zahl ab Es gilt also beispielsweise 1 2 1 displaystyle lfloor 1 2 rfloor 1 nbsp und 3 99 3 displaystyle lfloor 3 99 rfloor 3 nbsp Der Interquartilsabstand ist dann definiert als 1 IQA x 0 75 x 0 25 displaystyle operatorname IQA x 0 75 x 0 25 nbsp und ist somit genau die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil Beispiel BearbeitenBetrachte die Stichprobe x 25 28 4 28 19 3 9 17 29 29 displaystyle tilde x 25 28 4 28 19 3 9 17 29 29 nbsp mit n 10 displaystyle n 10 nbsp Elementen Sortiert man die Elemente der Grosse nach so erhalt man x 3 4 9 17 19 25 28 28 29 29 displaystyle x 3 4 9 17 19 25 28 28 29 29 nbsp Zur Bestimmung des unteren Quartils berechnet man n 0 25 2 5 displaystyle n cdot 0 25 2 5 nbsp was nicht ganzzahlig ist Daher ist gemass der oben angegebenen Definition x 0 25 x n 0 25 1 x 2 5 1 x 3 5 x 3 9 displaystyle x 0 25 x lfloor n cdot 0 25 1 rfloor x lfloor 2 5 1 rfloor x lfloor 3 5 rfloor x 3 9 nbsp Analog folgt x 0 75 x n 0 75 1 x 7 5 1 x 8 5 x 8 28 displaystyle x 0 75 x lfloor n cdot 0 75 1 rfloor x lfloor 7 5 1 rfloor x lfloor 8 5 rfloor x 8 28 nbsp Damit erhalt man fur den Interquartilsabstand IQA x 0 75 x 0 25 28 9 19 displaystyle operatorname IQA x 0 75 x 0 25 28 9 19 nbsp Aufbauende Begriffe BearbeitenAufbauend auf dem Interquartilsabstand wird der mittlere Quartilsabstand definiert der mit MQA 1 oder QD nach der englischen Bezeichnung quartile deviation 4 abgekurzt wird Er ist definiert als 1 MQA 1 2 IQA 1 2 x 0 75 x 0 25 displaystyle operatorname MQA frac 1 2 operatorname IQA frac 1 2 left x 0 75 x 0 25 right nbsp Im obigen Beispiel ware der mittlere Quartilsabstand somit MQA 1 2 19 9 5 displaystyle operatorname MQA frac 1 2 cdot 19 9 5 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e Thomas Cleff Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse Eine computergestutzte Einfuhrung mit Excel SPSS und STATA 3 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Gabler Wiesbaden 2015 ISBN 978 3 8349 4747 5 S 54 doi 10 1007 978 3 8349 4748 2 Norbert Henze Stochastik fur Einsteiger Eine Einfuhrung in die faszinierende Welt des Zufalls 10 Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2013 ISBN 978 3 658 03076 6 S 32 doi 10 1007 978 3 658 03077 3 Eric W Weisstein Interquartile Range In MathWorld englisch Eric W Weisstein Quartile Deviation In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Interquartilsabstand deskriptive Statistik amp oldid 234161505