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Grenzwertkriterium Das ist ein mathematisches Konvergenzkriterium um zu entscheiden ob eine unendliche Reihe konvergent

Grenzwertkriterium

Das Grenzwertkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, um zu entscheiden, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Aussagen Bearbeiten

Es seien und zwei unendliche Reihen mit positiven Summanden (das heißt, und für alle ). Dann gilt

  • Ist und konvergiert die Reihe , so konvergiert auch .
  • Ist (das ist äquivalent zu ), so folgt analog aus der Konvergenz von die Konvergenz von .
  • Gilt zugleich , so haben und das gleiche Konvergenzverhalten.

Insbesondere gilt:

  • Konvergiert die Folge gegen einen Wert mit , so konvergiert die Reihe genau dann, wenn die Reihe konvergiert.

Beweis Bearbeiten

Ist , so ist und daher für ein geeignetes und alle genügend großen . Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz der Reihe die Konvergenz von .

Literatur Bearbeiten

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1980, ISBN 3-519-02221-4 (17. aktualisierte Auflage. ebenda 2009, ISBN 978-3-8348-0777-9), S. 204-205
  • Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 978-0-8176-8289-7, S. 50
  • Ed Barbeau: Fallacies, Flaws, and Flimflam. In: The College Mathematics Journal, Vol. 38, No. 2, März 2007, S. 131–134, JSTOR:27646447
  • Michele Longo, Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. In: Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3, Juni 2006, S. 205–210 (JSTOR:27642937)
  • J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. In: Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5, Dezember 2012, S. 374–375, doi:10.4169/math.mag.85.5.374

Weblinks Bearbeiten

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Das Grenzwertkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium um zu entscheiden ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen 2 Beweis 3 Literatur 4 WeblinksAussagen BearbeitenEs seien k a k displaystyle sum k a k nbsp und k b k displaystyle sum k b k nbsp zwei unendliche Reihen mit positiven Summanden das heisst a k gt 0 displaystyle a k gt 0 nbsp und b k gt 0 displaystyle b k gt 0 nbsp fur alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp Dann gilt Ist lim sup a k b k lt displaystyle limsup frac a k b k lt infty nbsp und konvergiert die Reihe b k displaystyle sum b k nbsp so konvergiert auch a k displaystyle sum a k nbsp Ist lim inf a k b k gt 0 displaystyle liminf frac a k b k gt 0 nbsp das ist aquivalent zu lim sup b k a k lt displaystyle limsup frac b k a k lt infty nbsp so folgt analog aus der Konvergenz von a k displaystyle sum a k nbsp die Konvergenz von b k displaystyle sum b k nbsp Gilt zugleich 0 lt lim inf a k b k lim sup a k b k lt displaystyle 0 lt liminf frac a k b k leq limsup frac a k b k lt infty nbsp so haben a k displaystyle sum a k nbsp und b k displaystyle sum b k nbsp das gleiche Konvergenzverhalten Insbesondere gilt Konvergiert die Folge a k b k displaystyle frac a k b k nbsp gegen einen Wert c displaystyle c nbsp mit 0 lt c lt displaystyle 0 lt c lt infty nbsp so konvergiert die Reihe a k displaystyle sum a k nbsp genau dann wenn die Reihe b k displaystyle sum b k nbsp konvergiert Beweis BearbeitenIst lim sup a k b k lt displaystyle limsup frac a k b k lt infty nbsp so ist a k b k lt C displaystyle frac a k b k lt C nbsp und daher a k lt C b k displaystyle a k lt C b k nbsp fur ein geeignetes C displaystyle C nbsp und alle genugend grossen k displaystyle k nbsp Nach dem Majorantenkriterium folgt aus der Konvergenz der Reihe b k displaystyle sum b k nbsp die Konvergenz von a k displaystyle sum a k nbsp Literatur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 Vieweg Teubner Wiesbaden 1980 ISBN 3 519 02221 4 17 aktualisierte Auflage ebenda 2009 ISBN 978 3 8348 0777 9 S 204 205 Rinaldo B Schinazi From Calculus to Analysis Springer 2011 ISBN 978 0 8176 8289 7 S 50 Ed Barbeau Fallacies Flaws and Flimflam In The College Mathematics Journal Vol 38 No 2 Marz 2007 S 131 134 JSTOR 27646447 Michele Longo Vincenzo Valori The Comparison Test Not Just for Nonnegative Series In Mathematics Magazine Vol 79 No 3 Juni 2006 S 205 210 JSTOR 27642937 J Marshall Ash The Limit Comparison Test Needs Positivity In Mathematics Magazine Vol 85 No 5 Dezember 2012 S 374 375 doi 10 4169 math mag 85 5 374Weblinks BearbeitenOswald Riemenschneider Analysis II PDF Skript Uni Hamburg Satz 16 33 Eric W Weisstein limit comparison test In MathWorld englisch Pauls Online Notes on Comparison Test Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grenzwertkriterium amp oldid 239292933