Die Gegenbauer Polynome auch ultraspharische Polynome genannt sind eine Menge orthogonaler Polynome auf dem Intervall 1 1 displaystyle 1 1 mit der Gewichtungsfunktion 1 x 2 a 1 2 displaystyle 1 x 2 alpha 1 2 mit a gt 1 2 displaystyle alpha gt 1 2 Sie sind benannt nach dem Mathematiker Leopold Gegenbauer und bilden die Losung der Gegenbauer Differentialgleichung Die Polynome haben die FormGegenbauer Polynome mit a 1Gegenbauer Polynome mit a 2 C n a z 1 G a m 0 n 2 1 m G a n m m n 2 m 2 z n 2 m displaystyle C n alpha z frac 1 Gamma alpha sum m 0 lfloor n 2 rfloor 1 m frac Gamma alpha n m m n 2m 2z n 2m fur a 0 displaystyle alpha neq 0 andernfalls C n 0 z m 0 n 2 1 m n m 1 m n 2 m 2 z n 2 m displaystyle C n 0 z sum m 0 lfloor n 2 rfloor 1 m frac n m 1 m n 2m 2z n 2m Sie lassen sich auch durch eine hypergeometrische Funktion 2 F 1 displaystyle 2 F 1 darstellen C n a z 2 a n 1 2 a 1 n 2 F 1 n 2 a n a 1 2 1 z 2 displaystyle C n alpha z frac 2 alpha n 1 2 alpha 1 n 2 F 1 left n 2 alpha n alpha frac 1 2 frac 1 z 2 right Der Wert fur z 1 displaystyle z 1 ist C n a 1 n 2 a 1 n displaystyle C n alpha 1 n 2 alpha 1 choose n Die ersten Polynome haben die Gestalt C 0 a z 1 displaystyle C 0 alpha z 1 C 1 a z 2 a z displaystyle C 1 alpha z 2 alpha z C 2 a z a 2 a 1 a z 2 displaystyle C 2 alpha z alpha 2 alpha 1 alpha z 2 C 3 a z 2 a 1 a z 4 3 a 1 a 2 a z 3 displaystyle C 3 alpha z 2 alpha 1 alpha z 4 3 alpha 1 alpha 2 alpha z 3 Referenzen BearbeitenEric W Weisstein Gegenbauer Polynomial In MathWorld englisch Milton Abramowitz Irene Stegun Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover ISBN 0 486 61272 4 S 774 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gegenbauer Polynom amp oldid 235978244
