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Brownsches Blatt Ein brownsches Blatt englisch Brownian sheet ist eine multiparametrische Verallgemeinerung der brownsch

Brownsches Blatt

Ein brownsches Blatt (englisch Brownian sheet) ist eine multiparametrische Verallgemeinerung der brownschen Bewegung zu einem gaußschen Zufallsfeld. Das brownsche Blatt ist die Lösung einer hyperbolischen stochastischen partiellen Differentialgleichung, einem Saitenschwingungsproblem unter weißem Rauschen.

Die Integration bezüglich brownscher Blätter führt zu multiparametrischen stochastischen Integralen.

In der Literatur wird manchmal auch nur der -parametrige Fall als brownsches Blatt bezeichnet. Wir folgen hier Walsh, der die Bezeichnung brownsches Blatt für den Fall verwendet (wie es auch in verwendet wird).

Die im Artikel benützte Definition stammt von Nikolai Nikolajewitsch Tschenzow (1956), es existiert auch noch eine ältere Definition von Paul Lévy.

Manche Autoren verwenden auch den Begriff multiparametrische brownsche Bewegung oder brownsche Bewegung mit multidimensionalen Parameter.

Definition Bearbeiten

Notation

Ein -brownsches Blatt ist ein Zufallsfeld , das heißt ist ein -dimensionaler Zufallsprozess mit einer -dimensionalen Indexmenge. Man nennt auch -dimensionales, -parametrisches brownsches Blatt.

(n,d)-brownsches Blatt Bearbeiten

Ein gaußscher Prozess nennt man -brownsches Blatt, falls er zentriert ist, d. h. für alle , und seine Kovarianzfunktion für durch

gegeben ist.

Aus der Definition der Kovarianzfunktion folgt, dass der Prozess fast sicher am Rand verschwindet, d. h.

fast sicher.

(n,1)-brownsches Blatt Bearbeiten

Jedes der ist ein unabhängiges -brownsches Blatt mit Kovarianzfunktion

Beispiele Bearbeiten

  • -brownsches Blatt ist die brownsche Bewegung in .
  • -brownsches Blatt ist die brownsche Bewegung in .
  • -brownsches Blatt ist ein-dimensionaler Gauß-Prozess auf der Indexmenge (z. B. eine Raum- und Zeitdimension).

Lévys definition der multiparametrischen Brownian motion Bearbeiten

In der Definition von Lévy ersetzt man die oben aufgeführt Bedingung für die Kovarianz mit der Bedingung

wobei die euklidische Metrik auf ist.

Lösung einer hyperbolischen SPDE Bearbeiten

Das stochastische Saitenschwingungsproblem betrachtet die Schwingung einer Saite auf die eine externe stochastische Kraft wirkt, wobei die Zeit und die Position bezeichnet. Diese Kraft wird als Zufallsmengenfunktion (englisch random set function) genannt weißes Rauschen modelliert. Sei ein brownsches Blatt, dann gilt für das weiße Rauschen

und kann als die Zeit-Distributionsableitung eines brownschen Blattes verstanden werden.

Sei und betrachte die hyperbolische SPDE

Die Lösung im Fall ist ein brownsches Blatt.

Literatur Bearbeiten

  • Walsh, John B.: An introduction to stochastic partial differential equations. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 1986, ISBN 978-3-540-39781-6.
  • Davar Khoshnevisan: Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Hrsg.: Springer. ISBN 978-0-387-95459-2.
  • Hida, T. (1980): Brownian Motion. Applications of Mathematics, vol 11. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-6030-1

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Walsh, John B.: An introduction to stochastic partial differential equations. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 1986, ISBN 978-3-540-39781-6.
  2. Davar Khoshnevisan: Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Hrsg.: Springer. ISBN 978-0-387-95459-2.
  3. Davar Khoshnevisan und Yimin Xiao: Images of the Brownian Sheet. 2004, arxiv:math/0409491.
  4. Mina Ossiander und Ronald Pyke: Lévy's Brownian motion as a set-indexed process and a related central limit theorem. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 21, Nr. 1, 1985, S. 133–145, doi:10.1016/0304-4149(85)90382-5.
  5. Robert C. Dalang: Level Sets and Excursions of the Brownian Sheet. In: Topics in Spatial Stochastic Processes. In: Springer, Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. Band 1802, 2003, doi:10.1007/978-3-540-36259-3_5.
  6. Walsh, John B.: An introduction to stochastic partial differential equations. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 1986, ISBN 978-3-540-39781-6, S. 284–285.
  7. Walsh, John B.: An introduction to stochastic partial differential equations. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 1986, ISBN 978-3-540-39781-6, S. 281–284.
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Ein brownsches Blatt englisch Brownian sheet ist eine multiparametrische Verallgemeinerung der brownschen Bewegung zu einem gaussschen Zufallsfeld Das brownsche Blatt ist die Losung einer hyperbolischen stochastischen partiellen Differentialgleichung einem Saitenschwingungsproblem unter weissem Rauschen Die Integration bezuglich brownscher Blatter fuhrt zu multiparametrischen stochastischen Integralen In der Literatur wird manchmal auch nur der 2 displaystyle 2 parametrige Fall 2 d displaystyle 2 d als brownsches Blatt bezeichnet Wir folgen hier Walsh 1 der die Bezeichnung brownsches Blatt fur den Fall n d displaystyle n d verwendet wie es auch in 2 verwendet wird Die im Artikel benutzte Definition stammt von Nikolai Nikolajewitsch Tschenzow 1956 es existiert auch noch eine altere Definition von Paul Levy Manche Autoren verwenden auch den Begriff multiparametrische brownsche Bewegung oder brownsche Bewegung mit multidimensionalen Parameter Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 n d brownsches Blatt 1 2 n 1 brownsches Blatt 1 3 Beispiele 1 4 Levys definition der multiparametrischen Brownian motion 2 Losung einer hyperbolischen SPDE 3 Literatur 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenNotation a b min a b displaystyle a wedge b operatorname min a b nbsp R n 0 n t 1 t n t i 0 i 1 n displaystyle mathbb R n 0 infty n t 1 dots t n colon t i geq 0 i 1 dots n nbsp Ein n d displaystyle n d nbsp brownsches Blatt ist ein Zufallsfeld B t displaystyle B t nbsp das heisst B t displaystyle B t nbsp ist ein d displaystyle d nbsp dimensionaler Zufallsprozess mit einer n displaystyle n nbsp dimensionalen Indexmenge Man nennt B t displaystyle B t nbsp auch d displaystyle d nbsp dimensionales n displaystyle n nbsp parametrisches brownsches Blatt n d brownsches Blatt Bearbeiten Ein gaussscher Prozess B B t t R n displaystyle B B t t in mathbb R n nbsp nennt man n d displaystyle n d nbsp brownsches Blatt falls er zentriert ist d h E B t 0 displaystyle mathbb E B t 0 nbsp fur alle t t 1 t 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Kraft wird als Zufallsmengenfunktion englisch random set function W displaystyle dot W nbsp genannt weisses Rauschen modelliert Sei W t t R n displaystyle W t t in mathbb R n nbsp ein brownsches Blatt dann gilt fur das weisse Rauschen W t W 0 t 0 t 1 0 t n W d x displaystyle W t dot W 0 t int 0 t 1 times cdots times 0 t n dot W mathrm d x nbsp und W displaystyle dot W nbsp kann als die Zeit Distributionsableitung eines brownschen Blattes verstanden werden 5 6 Sei n 2 displaystyle n 2 nbsp und betrachte die hyperbolische SPDE 2 X s 1 s 2 s 1 s 2 a X s 1 s 2 W s 1 s 2 b X s 1 s 2 X s 1 0 X 0 s 2 0 displaystyle begin cases frac partial 2 X s 1 s 2 partial s 1 partial s 2 alpha X s 1 s 2 dot W s 1 s 2 beta X s 1 s 2 X s 1 0 X 0 s 2 0 end cases nbsp Die Losung X displaystyle X nbsp im Fall a 1 b 0 displaystyle alpha equiv 1 beta equiv 0 nbsp ist ein brownsches Blatt 7 Literatur BearbeitenWalsh John B An introduction to stochastic partial differential equations Hrsg Springer Berlin Heidelberg 1986 ISBN 978 3 540 39781 6 Davar Khoshnevisan Multiparameter Processes An Introduction to Random Fields Hrsg Springer ISBN 978 0 387 95459 2 Hida T 1980 Brownian Motion Applications of Mathematics vol 11 Springer New York NY https doi org 10 1007 978 1 4612 6030 1Einzelnachweise Bearbeiten Walsh John B An introduction to stochastic partial differential equations Hrsg Springer Berlin Heidelberg 1986 ISBN 978 3 540 39781 6 Davar Khoshnevisan Multiparameter Processes An Introduction to Random Fields Hrsg Springer ISBN 978 0 387 95459 2 Davar Khoshnevisan und Yimin Xiao Images of the Brownian Sheet 2004 arxiv math 0409491 Mina Ossiander und Ronald Pyke Levy s Brownian motion as a set indexed process and a related central limit theorem In Stochastic Processes and their Applications Band 21 Nr 1 1985 S 133 145 doi 10 1016 0304 4149 85 90382 5 Robert C Dalang Level Sets and Excursions of the Brownian Sheet In Topics in Spatial Stochastic Processes In Springer Berlin Heidelberg Hrsg Lecture Notes in Mathematics Band 1802 2003 doi 10 1007 978 3 540 36259 3 5 Walsh John B An introduction to stochastic partial differential equations Hrsg Springer Berlin Heidelberg 1986 ISBN 978 3 540 39781 6 S 284 285 Walsh John B An introduction to stochastic partial differential equations Hrsg Springer Berlin Heidelberg 1986 ISBN 978 3 540 39781 6 S 281 284 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Brownsches Blatt amp oldid 239375295