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Autonomisierung bezeichnet das Umschreiben eines nicht autonomen Differentialgleichungssystems in ein autonomes Differen

Autonomisierung

Autonomisierung bezeichnet das Umschreiben eines nicht-autonomen Differentialgleichungssystems in ein autonomes Differentialgleichungssystem in der Numerischen Mathematik.

Beschreibung Bearbeiten

Sei das Anfangswertproblem mit

gegeben.

Dann ist das Ziel, dieses nicht-autonome DGL-System in ein autonomes, d. h. von der Zeit unabhängiges (=invariant gegen Zeittranslation) DGL-System zu überführen (autonomisieren).

Wir können uns auf die Anfangszeit beschränken, da bei jeder beliebigen Zeit eine Lösung sein muss, falls die Funktion autonomisiert werden kann.

In den numerischen Verfahren fallen die Zeitpunkte dann entsprechend weg. Das heißt, es gilt für das explizite Euler-Verfahren

für eine autonome Differentialgleichung.

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Schreiben wir nun die nicht-autonome DGL in eine autonome DGL um, dann erhalten wir eine zusätzliche Dimension.

Definiere

Dann gilt die Beziehung:

Beispiele Bearbeiten

1. Die Euler-Verfahren (explizit, implizit), das Heun-Verfahren und das Trapez-Verfahren sind alle invariant gegen Autonomisierung.

2. Das „schiefe“ Euler-Verfahren (Beachte Zeitschritt in ) ist nicht invariant gegen Autonomisierung.

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Autonomisierung bezeichnet das Umschreiben eines nicht autonomen Differentialgleichungssystems in ein autonomes Differentialgleichungssystem in der Numerischen Mathematik Beschreibung BearbeitenSei das Anfangswertproblem mit u t f t u t mit u t 0 u 0 displaystyle u t f t u t quad text mit quad u t 0 u 0 nbsp gegeben Dann ist das Ziel dieses nicht autonome DGL System in ein autonomes d h von der Zeit t displaystyle t nbsp unabhangiges invariant gegen Zeittranslation DGL System zu uberfuhren autonomisieren Wir konnen uns auf die Anfangszeit t 0 0 displaystyle t 0 0 nbsp beschranken da u t displaystyle u t nbsp bei jeder beliebigen Zeit eine Losung sein muss falls die Funktion autonomisiert werden kann In den numerischen Verfahren fallen die Zeitpunkte dann entsprechend weg Das heisst es gilt fur das explizite Euler Verfahren u n 1 u n h n f u t n displaystyle u n 1 u n h n f u t n nbsp fur eine autonome Differentialgleichung Autonomisierung BearbeitenSchreiben wir nun die nicht autonome DGL u t f t u t u R d t t 0 T displaystyle u t f t u t u in mathbb R d t in t 0 T nbsp in eine autonome DGL U t F U t U R d 1 displaystyle U t F U t U in mathbb R d 1 nbsp um dann erhalten wir eine zusatzliche Dimension Definiere t t t 0 U u t F U f t t 0 u 1 displaystyle tau t t 0 U begin pmatrix u tau end pmatrix F U begin pmatrix f tau t 0 u 1 end pmatrix nbsp Dann gilt die Beziehung d U d t d d t u t d u d t 1 d u d t d t d t 1 f t u 1 1 t t t 0 f t t 0 u 1 F U displaystyle frac dU d tau frac d d tau begin pmatrix u tau end pmatrix begin pmatrix frac du d tau 1 end pmatrix begin pmatrix frac du dt frac dt d tau 1 end pmatrix begin pmatrix f t u 1 1 end pmatrix underset t tau t 0 begin pmatrix f tau t 0 u 1 end pmatrix F U nbsp Beispiele Bearbeiten1 Die Euler Verfahren explizit implizit das Heun Verfahren und das Trapez Verfahren sind alle invariant gegen Autonomisierung 2 Das schiefe Euler Verfahren Beachte Zeitschritt in f displaystyle f nbsp u n 1 u n h n f t n 1 u n displaystyle u n 1 u n h n f t n 1 u n nbsp ist nicht invariant gegen Autonomisierung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Autonomisierung amp oldid 234035093