ω konsistente Theorie In der mathematischen Logik wird eine Theorie als ω konsistent oder omega konsistent bezeichnet fa

ω-konsistente Theorie

In der mathematischen Logik wird eine Theorie als ω-konsistent (oder omega-konsistent) bezeichnet, falls sie keine Existenzaussage beweisen kann, wenn sie alle konkreten Instanzen dieser Aussage widerlegen kann.

Definition Bearbeiten

Sei T eine Theorie, die die Arithmetik interpretiert, das bedeutet, dass jeder natürlichen Zahl n ein Term der Sprache zugeordnet werden kann, der im Folgenden mit bezeichnet werde. T heißt ω-konsistent, falls es keine Formel gibt, sodass sowohl als auch für jede natürliche Zahl n beweisbar ist. Formal:

Eine ω-konsistente Theorie ist automatisch konsistent, umgekehrt gibt es aber konsistente Theorien, die nicht ω-konsistent sind, s. Beispiel.

Beziehung zu anderen Konsistenzprinzipien Bearbeiten

Ist eine Theorie T rekursiv axiomatisierbar, dann kann man nach einem Resultat von C. Smoryński die ω-Konsistenz wie folgt charakterisieren:

Hier bezeichnet die Menge aller Π⁰₂-Sätze, welche im Standardmodell der Arithmetik gültig sind. ist das uniforme Reflexionsprinzip für T, welches aus den Axiomen

für jede Formel mit einer freien Variable besteht.

Insbesondere ist eine endlich axiomatisierbare Theorie T in der Sprache der Arithmetik ω-konsistent genau dann wenn T+PA -korrekt ist.

Beispiel Bearbeiten

Bezeichne PA die Theorie der Peano-Arithmetik und Con(PA) sei diejenige arithmetische Aussage, die die Behauptung PA ist konsistent formalisiert. Meist wird Con(PA) von folgender Gestalt sein:

Auf Grund von Gödels Unvollständigkeitssatz wissen wir, dass, falls PA konsistent ist, auch PA+¬Con(PA) konsistent sein muss. PA+¬Con(PA) ist jedoch nicht ω-konsistent aus folgendem Grund: Für jede natürliche Zahl n beweist bereits PA, dass n nicht die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 ist, also beweist PA+¬Con(PA) dies sicher auch. Jedoch beweist ¬Con(PA) auch, dass es eine natürliche Zahl m gibt, so dass m die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 ist (die ist nämlich gerade die Aussage ¬Con(PA) selber).

Einzelnachweise Bearbeiten

Craig Smoryński: Self-reference and modal logic, in: The Journal of Symbolic Logic, 53:1 (1988), Seite 306–309. Springer, Berlin 1985.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 03:55 am

In der mathematischen Logik wird eine Theorie als w konsistent oder omega konsistent bezeichnet falls sie keine Existenzaussage beweisen kann wenn sie alle konkreten Instanzen dieser Aussage widerlegen kann Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beziehung zu anderen Konsistenzprinzipien 3 Beispiel 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei T eine Theorie die die Arithmetik interpretiert das bedeutet dass jeder naturlichen Zahl n ein Term der Sprache zugeordnet werden kann der im Folgenden mit n displaystyle dot n nbsp bezeichnet werde T heisst w konsistent falls es keine Formel ϕ x displaystyle phi x nbsp gibt sodass sowohl x ϕ x displaystyle exists x phi x nbsp als auch fur jede naturliche Zahl n ϕ n displaystyle neg phi dot n nbsp beweisbar ist Formal T ist w konsistent Es gibt keine Formel ϕ x so dass T x ϕ x und fur jede naturliche Zahl n T ϕ n displaystyle text T ist omega text konsistent leftrightarrow text Es gibt keine Formel phi x text so dass T vdash exists x phi x text und fur jede naturliche Zahl n T vdash neg phi dot n nbsp Eine w konsistente Theorie ist automatisch konsistent umgekehrt gibt es aber konsistente Theorien die nicht w konsistent sind s Beispiel Beziehung zu anderen Konsistenzprinzipien BearbeitenIst eine Theorie T rekursiv axiomatisierbar dann kann man nach einem Resultat von C Smorynski die w Konsistenz wie folgt charakterisieren 1 T ist w konsistent genau dann wenn T R F N T T h P 2 0 N displaystyle T mathrm RFN T mathrm Th Pi 2 0 mathbb N nbsp konsistent ist Hier bezeichnet T h P 2 0 N displaystyle mathrm Th Pi 2 0 mathbb N nbsp die Menge aller P02 Satze welche im Standardmodell der Arithmetik gultig sind R F N T displaystyle mathrm RFN T nbsp ist das uniforme Reflexionsprinzip fur T welches aus den Axiomen x P r o v T f x f x displaystyle forall x mathrm Prov T varphi dot x to varphi x nbsp fur jede Formel f displaystyle varphi nbsp mit einer freien Variable besteht Insbesondere ist eine endlich axiomatisierbare Theorie T in der Sprache der Arithmetik w konsistent genau dann wenn T PA S 2 0 displaystyle Sigma 2 0 nbsp korrekt ist Beispiel BearbeitenBezeichne PA die Theorie der Peano Arithmetik und Con PA sei diejenige arithmetische Aussage die die Behauptung PA ist konsistent formalisiert Meist wird Con PA von folgender Gestalt sein Fur jede naturliche Zahl n n ist nicht die Godelnummer eines Beweises von 0 1 in PA d h es gibt keinen Beweis des Widerspruchs 0 1 Auf Grund von Godels Unvollstandigkeitssatz wissen wir dass falls PA konsistent ist auch PA Con PA konsistent sein muss PA Con PA ist jedoch nicht w konsistent aus folgendem Grund Fur jede naturliche Zahl n beweist bereits PA dass n nicht die Godelnummer eines Beweises von 0 1 ist also beweist PA Con PA dies sicher auch Jedoch beweist Con PA auch dass es eine naturliche Zahl m gibt so dass m die Godelnummer eines Beweises von 0 1 ist die ist namlich gerade die Aussage Con PA selber Einzelnachweise Bearbeiten Craig Smorynski Self reference and modal logic in The Journal of Symbolic Logic 53 1 1988 Seite 306 309 Springer Berlin 1985 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title W konsistente Theorie amp oldid 208679586